Comentarii Adauga Comentariu

Legea numerelor mari

Exemplificarea a manifestării Legii Numerelor Mari: Grafic care ne arată cum tind aruncările stemă-ban să se egalizeze pe măsură ce executăm tot mai multe aruncări (ex. pe 10 seturi a 100 de aruncări).

Let X be a real-valued random variable, and let X_1, X_2, X_3, ... be an infinite sequence of independent and identically distributed copies of X. Let \overline{X}_n := \frac{1}{n}(X_1 + \ldots + X_n) be the empirical averages of this sequence. A fundamental theorem in probability theory is the law of large numbers, which comes in both a weak and a strong form:

Weak law of large numbers. Suppose that the first moment {\Bbb E} |X| of X is finite. Then \overline{X}_n converges in probability to {\Bbb E} X, thus \lim_{n \to \infty} {\Bbb P}( |\overline{X}_n - {\Bbb E} X| \geq \varepsilon ) = 0 for every \varepsilon > 0.

Strong law of large numbers. Suppose that the first moment {\Bbb E} |X| of X is finite. Then \overline{X}_n converges almost surely to {\Bbb E} X, thus {\Bbb P}( \lim_{n \to \infty} \overline{X}_n = {\Bbb E} X ) = 1.

[The concepts of convergence in probability and almost sure convergence in probability theory are specialisations of the concepts of convergence in measure and pointwise convergence almost everywhere in measure theory.]

(If one strengthens the first moment assumption to that of finiteness of the second moment {\Bbb E}|X|^2, then we of course have a more precise statement than the (weak) law of large numbers, namely the central limit theorem, but I will not discuss that theorem here.  With even more hypotheses on X, one similarly has more precise versions of the strong law of large numbers, such as the Chernoff inequality, which I will again not discuss here.)

The weak law is easy to prove, but the strong law (which of course implies the weak law, by Egoroff’s theorem) is more subtle, and in fact the proof of this law (assuming just finiteness of the first moment) usually only appears in advanced graduate texts. So I thought I would present a proof here of both laws, which proceeds by the standard techniques of the moment method and truncation. The emphasis in this exposition will be on motivation and methods rather than brevity and strength of results; there do exist proofs of the strong law in the literature that have been compressed down to the size of one page or less, but this is not my goal here.

— The moment method —

The moment method seeks to control the tail probabilities of a random variable (i.e. the probability that it fluctuates far from its mean) by means of moments, and in particular the zeroth, first or second moment. The reason that this method is so effective is because the first few moments can often be computed rather precisely. The first moment method usually employs Markov’s inequality

\displaystyle {\Bbb P}( |X| \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda} {\Bbb E} |X| (1)

(which follows by taking expectations of the pointwise inequality \lambda I(|X| \geq \lambda) \leq |X|), whereas the second moment method employs some version of Chebyshev’s inequality, such as

\displaystyle {\Bbb P}( |X| \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda^2} {\Bbb E} |X|^2 (2)

(note that (2) is just (1) applied to the random variable |X|^2 and to the threshold \lambda^2).

Generally speaking, to compute the first moment one usually employs linearity of expectation

\displaystyle {\Bbb E} X_1 + \ldots + X_n = {\Bbb E} X_1 + \ldots + {\Bbb E} X_n,

whereas to compute the second moment one also needs to understand covariances (which are particularly simple if one assumes pairwise independence), thanks to identities such as

\displaystyle {\Bbb E} (X_1 + \ldots + X_n)^2 = {\Bbb E} X_1^2 + \ldots + {\Bbb E} X_n^2 + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} X_i X_j

or the normalised variant

\displaystyle {\bf Var}(X_1+\ldots+X_n) = {\bf Var}(X_1) + \ldots + {\bf Var}(X_n)

\displaystyle + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} {\bf Cov}(X_i,X_j). (3)

Higher moments can in principle give more precise information, but often require stronger assumptions on the objects being studied, such as joint independence.

Here is a basic application of the first moment method:

Borel-Cantelli lemma. Let E_1, E_2, E_3, \ldots be a sequence of events such that \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n) is finite. Then almost surely, only finitely many of the events E_n are true.

Proof. Let I(E_n) denote the indicator function of the event E_n. Our task is to show that \sum_{n=1}^\infty I(E_n) is almost surely finite. But by linearity of expectation, the expectation of this random variable is \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n), which is finite by hypothesis. By Markov’s inequality (1) we conclude that

\displaystyle {\Bbb P}( \sum_{n=1}^\infty I(E_n) \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda} \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n).

Letting \lambda \to \infty we obtain the claim. \Box

Returning to the law of large numbers, the first moment method gives the following tail bound:

Lemma 1. (First moment tail bound) If {\Bbb E}|X| is finite, then

\displaystyle {\Bbb P}( |\overline{X}_n| \geq \lambda ) \leq \frac{{\Bbb E}|X|}{\lambda}.

Proof. By the triangle inequality, |\overline{X}_n| \leq \overline{|X|}_n. By linearity of expectation, the expectation of \overline{|X|}_n is {\Bbb E}|X|. The claim now follows from Markov’s inequality. \Box

Lemma 1 is not strong enough by itself to prove the law of large numbers in either weak or strong form – in particular, it does not show any improvement as n gets large – but it will be useful to handle one of the error terms in those proofs.

We can get stronger bounds than Lemma 1 – in particular, bounds which improve with n – at the expense of stronger assumptions on X.

Lemma 2. (Second moment tail bound) If {\Bbb E}|X|^2 is finite, then

\displaystyle {\Bbb P}( |\overline{X}_n - {\Bbb E}(X)| \geq \lambda ) \leq \frac{ {\Bbb E}|X - {\Bbb E}(X)|^2 }{n \lambda^2}.

Proof. A standard computation, exploiting (3) and the pairwise independence of the X_i, shows that the variance {\Bbb E} |\overline{X}_n - {\Bbb E}(X)|^2 of the empirical averages \overline{X}_n is equal to \frac{1}{n} times the variance {\Bbb E} |X - {\Bbb E}(X)|^2 of the original variable X. The claim now follows from Chebyshev’s inequality (2). \Box

In the opposite direction, there is the zeroth moment method, more commonly known as the union bound

\displaystyle {\Bbb P}( E_1 \vee \ldots \vee E_n ) \leq \sum_{j=1}^n {\Bbb P}(E_j)

or equivalently (to explain the terminology “zeroth moment”)

\displaystyle {\Bbb E} (X_1 + \ldots + X_n)^0 \leq {\Bbb E} X_1^0 + \ldots + X_n^0

for any non-negative random variables X_1,\ldots,X_n \geq 0. Applying this to the empirical means, we obtain the zeroth moment tail estimate

{\Bbb P} (\overline{X}_n \neq 0) \leq n {\Bbb P}(X \neq 0). (4)

Just as the second moment bound (Lemma 2) is only useful when one has good control on the second moment (or variance) of X, the zeroth moment tail estimate (3) is only useful when we have good control on the zeroth moment {\Bbb E} |X|^0 = {\Bbb P}(X \neq 0), i.e. when X is mostly zero.

— Truncation —

The second moment tail bound (Lemma 2) already gives the weak law of large numbers in the case when X has finite second moment (or equivalently, finite variance). In general, if all one knows about X is that it has finite first moment, then we cannot conclude that X has finite second moment. However, we can perform a truncation

\displaystyle X = X_{\leq N} + X_{>N} (5)

of X at any desired threshold N, where X_{\leq N} := X I(|X| \leq N) and X_{>N} := X I(|X| > N). The first term X_{\leq N} has finite second moment; indeed we clearly have

\displaystyle {\Bbb E} |X_{\leq N}|^2 \leq N {\Bbb E} |X|

and hence also we have finite variance

\displaystyle {\Bbb E} |X_{\leq N} - {\Bbb E} X_{\leq N}|^2 \leq N {\Bbb E} |X|. (6)

The second term X_{>N} may have infinite second moment, but its first moment is well controlled. Indeed, by the monotone convergence theorem, we have

\displaystyle {\Bbb E} |X_{>N}| \to 0 \hbox{ as } N \to \infty. (7)

By the triangle inequality, we conclude that the first term X_{\leq N} has expectation close to {\Bbb E} X:

\displaystyle {\Bbb E} X_{\leq N} \to {\Bbb E}(X) \hbox{ as } N \to \infty. (8)

These are all the tools we need to prove the weak law of large numbers:

Proof of weak law. Let \varepsilon > 0. It suffices to show that whenever n is sufficiently large depending on \varepsilon, that \overline{X}_n = {\Bbb E} X + O(\varepsilon) with probability 1-O(\varepsilon).

From (7), (8), we can find a threshold N (depending on \varepsilon) such that {\Bbb E} |X_{\geq N}| = O(\varepsilon^2) and {\Bbb E} X_{<N} = {\Bbb E} X + O(\varepsilon). Now we use (5) to split

\displaystyle \overline{X}_n = (\overline{X_{\geq N}})_n +(\overline{X_{< N}})_n.

From the first moment tail bound (Lemma 1), we know that (\overline{X_{\geq N}})_n = O(\varepsilon) with probability 1 - O(\varepsilon). From the second moment tail bound (Lemma 2) and (6), we know that (\overline{X_{< N}})_n = {\Bbb E} X_{<N} + O(\varepsilon) = {\Bbb E} X + O(\varepsilon) with probability 1-O(\varepsilon) if n is sufficiently large depending on N and \varepsilon. The claim follows. \Box

— The strong law —

The strong law can be proven by pushing the above methods a bit further, and using a few more tricks.

The first trick is to observe that to prove the strong law, it suffices to do so for non-negative random variables X \geq 0. Indeed, this follows immediately from the simple fact that any random variable X with finite first moment can be expressed as the difference of two non-negative random variables \max(X,0), \max(-X,0) of finite first moment.

Once X is non-negative, we see that the empirical averages \overline{X}_n cannot decrease too quickly in n. In particular we observe that

\displaystyle \overline{X}_m \leq (1+O(\varepsilon)) \overline{X}_n whenever (1-\varepsilon) n \leq m \leq n. (9)

Because of this quasimonotonicity, we can sparsify the set of n for which we need to prove the strong law. More precisely, it suffices to show

Strong law of large numbers, reduced version. Let X be a non-negative random variable with {\Bbb E} X < \infty, and let 1 \leq n_1\leq n_2\leq n_3\leq\ldots be a sequence of integers which is lacunary in the sense that n_{j+1}/n_j > c for some c>1 and all sufficiently large j. Then \overline{X}_{n_j} converges almost surely to {\Bbb E} X.

Indeed, if we could prove the reduced version, then on applying that version to the lacunary sequence n_j := \lfloor (1 + \varepsilon)^j\rfloor and using (9) we would see that almost surely the empirical means \overline{X}_n cannot deviate by more than a multiplicative error of 1+O(\varepsilon) from the mean {\Bbb E} X. Setting \varepsilon := 1/m for m=1,2,3,\ldots (and using the fact that a countable intersection of almost sure events remains almost sure) we obtain the full strong law.

[This sparsification trick is philosophically related to the dyadic pigeonhole principle philosophy; see an old short story of myself on this latter topic. One could easily sparsify further, so that the lacunarity constant c is large instead of small, but this turns out not to help us too much in what follows.]

Now that we have sparsified the sequence, it becomes economical to apply the Borel-Cantelli lemma. Indeed, by many applications of that lemma we see that it suffices to show that

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O( \varepsilon ) ) < \infty (10)

for non-negative X of finite first moment, any lacunary sequence 1 \leq n_1 \leq n_2 \leq \ldots and any \varepsilon > 0. [This is a slight abuse of the O() notation, but it should be clear what is meant by this.]

[If we did not first sparsify the sequence, the Borel-Cantelli lemma would have been too expensive to apply; see Remark 2 below. Generally speaking, Borel-Cantelli is only worth applying when one expects the events E_n to be fairly “disjoint” or “independent” of each other; in the non-lacunary case, the events E_n change very slowly in n, which makes the lemma very inefficient. We will not see how lacunarity is exploited until the punchline at the very end of the proof, but certainly there is no harm in taking advantage of this “free” reduction to the lacunary case now, even if it is not immediately clear how it will be exploited.]

At this point we go back and apply the methods that already worked to give the weak law. Namely, to estimate each of the tail probabilities {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O(\varepsilon) ), we perform a truncation (5) at some threshold N_j. It is not immediately obvious what truncation to perform, so we adopt the usual strategy of leaving N_j unspecified for now and optimising in this parameter later.

We should at least pick N_j large enough so that {\Bbb E} X_{< N_j} = {\Bbb E} X + O(\varepsilon). From the second moment tail estimate (Lemma 2) we conclude that (\overline{X_{< N_j}})_{n_j} is also equal to {\Bbb E} X + O( \varepsilon ) with probability 1-O( \frac{1}{\varepsilon n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 ). One could attempt to simplify this expression using (6), but this turns out to be a little wasteful, so let us hold off on that for now. However, (6) does strongly suggest that we want to take N_j to be something like n_j, which is worth keeping in mind in what follows.

Now we look at the contribution of X_{\geq N_j}. One could use the first moment tail estimate (Lemma 1), but it turns out that the first moment {\Bbb E} X_{> N_j} decays too slowly in j to be of much use (recall that we are expecting N_j to be like the lacunary sequence n_j); the root problem here is that the decay (7) coming from the monotone convergence theorem is ineffective (one could effectivise this using the finite convergence principle, but this turns out to give very poor results here).

But there is one last card to play, which is the zeroth moment method tail estimate (4). As mentioned earlier, this bound is lousy in general – but is very good when X is mostly zero, which is precisely the situation with X_{>N_j}. and in particular we see that (\overline{X_{>N_j}})_{n_j} is zero with probability 1 - O( n_j {\Bbb P}(X > N_j) ).

Putting this all together, we see that

\displaystyle {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O( \varepsilon ) ) \leq O( \frac{1}{\varepsilon n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 ) + O( n_j {\Bbb P}(X > N_j) ).

Summing this in j, we see that we will be done as soon as we figure out how to choose N_j so that

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 (11)


\displaystyle \sum_{j=1}^\infty n_j {\Bbb P}(X > N_j) (12)

are both finite. (As usual, we have a tradeoff: making the N_j larger makes (12) easier to establish at the expense of (11), and vice versa when making N_j smaller.)

Based on the discussion earlier, it is natural to try setting N_j := n_j. Happily, this choice works cleanly; the lacunary nature of n_j ensures (basically from the geometric series formula) that we have the pointwise estimates

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j} |X_{\leq n_j}|^2 = O( X )


\displaystyle \sum_{j=1}^\infty n_j I( X \geq n_j ) = O( X )

(where the implied constant here depends on the sequence n_1, n_2, \ldots, and in particular on the lacunarity constant c). The claims (10), (11) then follow from one last application of linearity of expectation, giving the strong law of large numbers.

Remark 1. The above proof in fact shows that the strong law of large numbers holds even if one only assumes pairwise independence of the X_n, rather than joint independence. \diamond

Remark 2. It is essential that the random variables X_1,X_2,\ldots are “recycled” from one empirical average \overline{X}_n to the next, in order to get the crucial quasimonotonicity property (9). If instead we took completely independent averages \overline{X}_n = \frac{1}{n} (X_{n,1} + \ldots + X_{n,n} ), where the X_{i,j} are all iid, then the strong law of large numbers in fact breaks down with just a first moment assumption. (For a counterexample, consider a random variable X which equals 2^m / m^2 with probability 2^{-m} for m=1,2,3,\ldots; this random variable (barely) has finite first moment, but for n \sim 2^m/m^2, we see that \overline{X}_n deviates by at least absolute constant from its mean with probability \gg 1/m^2. As the empirical means \overline{X}_n for n \sim 2^m/m^2 are now jointly independent, the probability that one of them deviates significantly is now extremely close to 1 (super-exponentially close in m, in fact), leading to the total failure of the strong law in this setting.) Of course, if one restricts attention to a lacunary sequence of n then the above proof goes through in the independent case (since the Borel-Cantelli lemma is insensitive to this independence). By exploiting the joint independence further (e.g. by using Chernoff’s inequality) one can also get the strong law for independent empirical means for the full sequence n under second moment bounds. \diamond

Remark 3. From the perspective of interpolation theory, one can view the above argument as an interpolation argument, establishing an L^1 estimate (10) by interpolating between an L^2 estimate (Lemma 2) and the L^0 estimate (4). \diamond

Remark 4. By viewing the sequence X_1,X_2,\ldots as a stationary process, and thus as a special case of a measure-preserving system one can view the weak and strong law of large numbers as special cases of the mean and pointwise ergodic theorems respectively (see Exercise 9 from 254A Lecture 8 and Theorem 2 from 254A Lecture 9).  \diamond

Sursa terrytao.wordpress.com


Linkul direct catre Petitie

CEREM NATIONALIZAREA TUTUROR RESURSELOR NATURALE ALE ROMANIEI ! - Initiativa Legislativa care are nevoie de 500.000 de semnaturi - Semneaza si tu !


Adauga Comentariu

Citiți și cele mai căutate articole de pe Fluierul:

Vai de mama noastră! Bilderbergul Macron cu Nemțoaica Progresistă care a adus 1,5 milioane de migranți în doar 2 ani, trec la acțiune pentru Federalizarea Rapidă a Europei. Axa Merkel-Macron: Până în iunie vom lua măsuri importante pentru viitorul Europei

Dragnea, despre referendumul pentru FAMILIE: "Am avut presiuni mari din partea socialiștilor europeni să nu-l facem'. Așadar pe GUNOAIELE DE SOCIALIȘTI EUROPENI îi doare-n cur, de dreptul suveran al oricărui popor de a hotârî DEMOCRATIC prin Referendum

Benjamin Netanyahu anunță cu mândrie că România își va muta capitala la Jerusalim. Toată presa mondială publică știrea. JERUSALEM POST - ROMANIA TO MOVE ITS EMBASSY TO JERUSALEM, PRIME MINISTER Benjamin Netanyahu SAYS

REMEMBER 22 Decembrie 1989. DEZVALUIRI CUTREMURATOARE. Victorul Atanasie Stanculescu : Cum am complotat cu Iliescu, cu KGB-ul, cu ungurii si cu americanii ca sa-l dam jos si sa-l ucidem pe Ceausescu

Directorul, SEX cu profa de matematică în şcoală. Elevii au filmat pe ascuns. VIDEO XXX

CFR Cluj cere depunctarea FCSB. Clujenii au depus plângere la Comisia de Disciplină pentru că Becali i-a făcut "unguri". Becali: "E periculos că gândesc așa ceva. Eu nu văd jignirea. Le e rușine că-s unguri? Mie nu mi-e rușine că sunt român"

Dragnea MUTĂ AMBASADE....Dragnea: Guvernul a adoptat un memorandum în care se decide începerea procedurii de mutare a ambasadei României de la Tel Aviv la Ierusalim

VIDEO - Niște Roboți din Singapore - au finalizat o sarcină de care mulți oameni se tem că o pot duce cu bine la bun sfârșit - asamblare unui mobilier pre-ambalat livrat în bucăți, de la IKEA

A treia lege a întâmplării: evenimentele întâmplătoare se comportă Previzibil în Ansamblu, chiar dacă nu sunt previzibile individual. Cum e făcut Universul de se comportă Previzibil în Ansamblu?

ORGIE în toaleta unui club din România. Totul a fost filmat cu un telefon mobil. VIDEO

Il Giornale. La verità sull’attacco a Douma che nessuno ha osato dire

Un băiat de 12 ani a fost lovit şi batjocorit de un grup de țigani la Calafat

BREXIT PUNISHMENT: Germanii sunt răzbunători. Majoritatea germanilor vor ca UE să-i pedepsească pe britanici pentru BREXIT și să dea un exemplu în UE ca nimeni să nu mai îndrăznească să facă ce-au făcut britanicii. Fluierul.ro ține cu BRITANICII

SEX TAPE made in Romania: 4 vedete autohtone FILMATE făcând perversităţi VIDEO

Malware-ul deghizat n Ad Blocker a infectat milioane de utilizatori

Directorul, SEX cu profa de matematică în şcoală. Elevii au filmat pe ascuns. VIDEO XXX

Forțele siriene au intrat în Doumeir după evacuarea rebelilor

Motive pentru care masturbarea face bine la sănătate

Cum fac SEX rusoaicele, nemţoaicele sau italiencele. Clipul care a făcut senzaţie pe net VIDEO

MOSTENIREA nestiuta a lui Ceausescu! America e SOCATA de ce a descoperit in Romania
ULTIMA ORA: Dusmanii tarii vor sa ascunda adevarul

Siria a înapoiat Franței, prin ambasada României la Damasc, Legiunea de Onoare acordată lui Bashar al-Assad

Seoul: Coreea de Nord vrea "denuclearizare totală"

MONITORUL APĂRĂRII: Statele Unite alocă aproape un miliard de dolari pentru dezvoltarea unei rachete hipersonice

Franța, Germania și Marea Britanie îndeamnă SUA să nu se retragă din acordul nuclear cu Iranul

Iranul avertizează SUA că retragerea din acordul nuclear va avea "consecințe neplăcute"

ÎNCĂ O ILEGALITATE A BINOMULUI PROGRESIST A IEȘIT LA IVEALĂ. Motivare CCR, la decizia de a declara neconstituțional un articol din Legea nr.51/1991: Faptele de corupție nu pot fi calificate drept amenințare la adresa securității naționale

Mesaj pentru Soros: „Vrem mai mulți copii maghiari și mai multe familii maghiare în loc de mai mulți migranți în Ungaria”

O replică și un viitor. Andru Nenciu scrie despre câștigătorul care n-a știut să se bucure: "Da, Răzvan, i-ai ciuruit. Dar nu oricine poate deveni golan ca Băse"

Dumnezeu Nu Bate Cu Bota. După aproape 30 de ani bolșevicul Teodor Brateş cel care a difuzat în decembrie 1989, ore întregi la TVR, Diversiunile cu Teroriștii de la care au murit sute de oameni - a fost pus în sfârșit sub sub acuzare

Mailul prin care Laura Codruţa Kovesi îşi ameninţa subordonaţii, confirmat oficial de Inspecţia Judiciară

Cascadorul Adrian Pavlovschi a murit, la 61 de ani

Un membru al Gărzii Naționale americane a fost demis după ce și-a depus jurământul de reînrolare cu un dinozaur de jucărie


Curtea Constituţională: "SRI nu avea voie sa opereze în niciun dosar de corupţie"

Discursul Bilderbegului Macron în Parlamentul European o sinteză despre Planul pus la Cale de Rețeaua Progresisto-Globalistă de a Desființa Rapid Statele Naționale din Europa

Religia la care au trecut miliardarii lumii. Ion Ţiriac s-a convertit şi el la acest cult

LIVE TEXT Cupa României | CS U Craiova - Botoșani se joacă ACUM. Băluță a deschis scorul după un assist genial al lui Gustavo. Gardoș a înscris, dar golul său a fost anulat

Dragnea: Prea seamănă, prea sunt coordonate acțiuni de la BNR, declarații ale președintelui, ale liderilor din opoziție, știri false

Ai probleme cu dinţii? Află cum îţi afectează ERECŢIA

Dragnea, despre refuzul lui Iohannis de a o revoca pe Kovesi: Nu nerevocarea în sine m-a deranjat. Sistemul a funcționat rău și a generat abuzuri

Prezentatoare TV în sânii goi, după ce a fost trădată de rochie în direct VIDEO

Compania britanică Thomsons Online Benefits a inaugurat noul sediu din Cluj Napoca și angajează 70 de oameni până la finalul anului

VIDEO Simona Halep superstar. Cum au stat oamenii la coadă pentru un autograf sau un selfie cu marea campioană

Au făcut sex în restaurantul plin de oameni. Ce a făcut ospătăriţa când i-a văzut VIDEO XXX

Liviu Dragnea: Guvernul a decis mutarea efectivă a ambasadei de la Tel Aviv la Ierusalim

Cod galben de vânt puternic | Județele aflate sub atenționarea meteo. Viteza vântului poate atinge în unele zone chiar și 100 km/oră

Solidaritate într-un sistem cu probleme. Un doctor și-a împărțit salariul cu infirmierele

Actor de la Hollywood, în Las Fierbinţi. Cum a ajuns în serialul românesc

Regele din Swaziland anunță că țara sa și-a schimbat numele în 'eSwatini'

Dragnea, săgeți către Tăriceanu: Nu mă interesează dacă vor candida la prezidențiale Iohannis, Tăriceanu, Cioloș. E treaba lor

Dragnea: Nu mă interesează dacă vor candida Iohannis, Tăriceanu, Cioloș

Liviu Dragnea: Prea sunt coordonate acțiunile BNR cu declarațiile liderilor din opoziție

Scene HORROR la derby-ul Fenerbahce-Beşiktaş: antrenorul oaspeţilor a ajuns la SPITAL. Bătaie la VESTIARE

Ambasada Rusiei la Londra cere ca Iulia Skripal să fie consultată de medici ruși

Mai vreți în UE,noul URSS?BIG BROTHER,adică UE-ul progresist,neomarxist și federalist vă vrea cipați,amprentați și teleghidați ca să vă urmărească pas cu pas.Comisia Europeană instituie obligativitatea includerii datelor biometrice în cărţile de identitate

SUA: Mike Pompeo nu a fost însoțit la Phenian de oficiali ai Departamentului de Stat

Horoscop zilnic VINERI 20 aprilie 2018. Ce iti aduce prima zi din zodia Taurului?

Business report: Noul Drum al Matasii poate falimenta Portul Constanta; Un indicator turnesol: Inflatia la taxe constante. Cresterea preturilor masurata pe sistem european - 4%; Cine face jocurile in piata farmaceutica?

John Bolton susține că Rusia trebuie să răspundă la întrebări pentru îmbunătățirea relațiilor cu SUA

Reacția Oliviei Steer după ce i-a fost retras trofeul primit la "Gala Femeilor care Dăruiesc Sănătate"

BANCUL ZILEI: Ion o prinde pe Maria cu Gheorghe, cel mai bun prieten al său, în pat...

Liviu Dragnea: Guvernul îl susţine pe Tudorel Toader în demersul său de la CCR după refuzul lui Iohannis de a o revoca pe şefa DNA

Andreea Esca a vorbit despre retragerea din televiziune. Când va face acest pas

CSU Craiova - FC Botoşani 5-1 în prima manşă din semifinalele Cupei României VIDEO

Conducerea UBB Cluj recomandă cadrelor didactice să se solidarizeze cu greva japoneză a studenţilor

Mangia face apel la calm după victoria entuziasmantă cu FC Botoșani: "Am câștigat doar un meci". Cum a rezolvat italianul conflictul cu Băluță și ce a spus despre hat-trickul decarului oltean

Președintele Siriei Bashar al-Assad a returnat Franței, prin intermediul Ambasadei României, Legiunea de Onoare acordată în 2001

Președintele Siriei Bashar al-Assad a returnat Franței, prin intermediul Ambasadei Romniei, Legiunea de Onoare acordată n 2001

A pierdut o jumătate de milion de euro din banii parohiei la PĂCĂNELE

Cupa Romniei, semifinale: CSU Craiova a nvins cu 5-1 FC Botoșani/ Baluță show

A început zodia Taur! Ce îţi aduce viaţa în senzualul şi încăpăţanatul sezon Taur

Liviu Dragnea, prima reacţie despre posibila candidatură a lui Tăriceanu la prezidenţiale

Băluță a făcut show în Oltenia! A marcat de trei ori în meciul cu Botoșani și a avut un mesaj clar pentru Mangia

Concluziile lui Costel Enache după umilința de la Craiova: "Ca să ne calificăm trebuie să prindem cea mai bună zi din carieră!"

Câte linguri de cafea se pun la o ceaşcă? Reţeta pentru o ceaşcă ideală de cafea

De ce este nociv să te autoînvinovățești. Cum poate fi vindecat sentimentul distrugător prin "tehnica substituirii"

Israel: Netanyahu spune că cel puțin șase țări intenționează să-și mute ambasada la Ierusalim

Mihai Stoica, replică ironică după solicitarea lui CFR Cluj de depunctare pentru FCSB

Un român de 33 de ani a vrut să se sinucidă pentru o tânără cunoscută pe Facebook

S-a stins românul care a învățat-o călărie pe celebra Keira Knightley, fost cascador în filmele lui Sergiu Nicolaescu

Nicolae Dică, prima reacţie după ce Gigi Becali a anunţat că se retrage de la Steaua

LIVE BLOG Cupa României | CS U Craiova - FC Botoșani 5-1. "Poneii" duc echipa lui Mangia mai aproape de finală! Hat-trick Băluță, gol și assist genial Gustavo și gol Mitriță

Dragnea: Guvernul a adoptat un memorandum prin care se decide mutarea efectivă a ambasadei de la Tel Aviv la Ierusalim

Aeroportul din Tripoli a fost atacat de rachete. O rachetă a lovit un avion Airbus 320 iar altele au lovit sala de sosiri

Cupa României | Manita "poneilor"! CS U Craiova – FC Botoșani 5-1. Băluță a reușit un hat-trick după ce a fost pedepsit de Mangia. Cronica meciului în urma căruia oltenii aproape că și-au asigurat prezența în finală

Grecia și Turcia sunt la un pas de război. De la ce a plecat scandalul

LIVE TEXT Cupa României | CS U Craiova - Botoșani se joacă ACUM. Mitriță înscrie și el! Oltenii, cu un pas în finală!

LIVE BLOG Cupa României | CS U Craiova - FC Botoșani se joacă ACUM. Hat-trick Băluță! Decarul oltean a înscris superb din lovitură liberă!

ŞOC în SPORT. Un ciclist a fost ÎMPUŞCAT în timpul unui antrenament pe şosea

Începe Programul Oficial de Internship al Guvernului României. Vezi câte locuri sunt anul acesta

Liviu Dragnea, despre zvonurile cu privire la relaţia tansionată cu Viorica Dăncilă: "Tot weekendul noi am fost împreună"

Scandal de la locuri de parcare marcate la limită. Ieșenii spun că nu există spațiu suficient pentru a deschide portierele

Gabriela Firea a instituit titlul de excelență post-mortem pentru Ionela Prodan și Carmen Stănescu

Președintele PSD: Chiar nu ne interesează dacă va candida Klaus Iohannis

Dragnea:Guvernul a adoptat un memorandum prin care se decide începerea procedurilor de mutare a ambasadei de la Tel Aviv la Ierusalim

Mihai Goțiu: USR și PNL depun o moțiune simplă împotriva ministrului Educației

Sunt amante perfecte. 3 zodii de femei care te duc în extaz

Român acuzat de trafic de droguri de mare risc prin darkweb, condamnat în SUA la trei ani de închisoare

Washingtonul cere noului președinte cubanez să pună capăt represiunii


​VIDEO Coșmarul bucureștenilor care s-au trezit cu un bloc n fața blocului. Sentințe definitive, emise n zadar

LIVE TEXT Cupa României | CS U Craiova - Botoșani se joacă ACUM. Mitriță înscrie și el! Toți oamenii de atac ai oltenilor au marcat

Primăria va majora cu 50% bugetul pentru alocația de hrană din spitalele din București

Liviu Dragnea, invitat la Antena 3, ncepnd cu ora 21.00. HotNews transmite Live Text principalele declarații

LIVE TEXT Cupa României | CS U Craiova - Botoșani. Băluță a ratat o ocazie uriașă după ce a driblat portarul!

Regizorul David Cronenberg, premiat cu Leul de Aur pentru întreaga carieră, la Veneția

Primăria Capitalei va reabilita 31 de kilometri din rețeaua de termoficare / PMB va realiza și o rețea de 50 de cișmele, iar jumătate vor fi lângă biserici

Locuințe din Cluj, prădate de un hoț de 26 de ani. Prejudiciul: circa 120.000 de euro

Dragnea neagă existența unor tensiuni între el și premier: Zvonul mincinos privind demisia Vioricăi Dăncilă, doar pentru a se lăsa impresia de instabilitate

Becali, furios după ce FCSB riscă depunctarea! Reacția finanțatorul FCSB la plângerea făcută de CFR: "Eu nu văd jignirea. Le e rușine că-s unguri?"

Primăria Capitalei va construi o bază sportivă în Snagov

LIVE TEXT Cupa României | CS U Craiova - Botoșani se joacă ACUM. Băluță face dubla, Gustavo înscrie din penalty în ultimul minut al reprizei! Acsinte, gol spectaculos

Mihai Goţiu: USR şi PNL depun o moţiune simplă împotriva ministrului Educaţiei

LIVE TEXT Cupa României | CS U Craiova - Botoșani se joacă ACUM. Băluță face dubla după o fază controversată! Oltenii au continuat o fază în care un adversar era căzut

Anunțul de ultimă oră făcut de procurori în cazul morții lui Prince

Dică, despre plecarea lui Gigi Becali de la FCSB: "A investit foarte mulți bani în această echipă"

Dragnea, despre mutarea Ambasadei Romniei la Ierusalim: Această decizie este luată. O susțin și ncep procedurile

Porumboiu și-a vărsat nervii pe Burleanu: "Du-te, mă, să te pună la Urleasca primar!"

Primăria Capitalei va construi o bază sportivă în Snagov

Pag.1 Pag.2 Pag.3 Pag.4

Nr. de articole la aceasta sectiune: 401, afisate in 4 pagini.

ieri 22:00
ieri 02:34 CITATUL ZILEI