Comentarii Adauga Comentariu

Legea numerelor mari

Exemplificarea a manifestării Legii Numerelor Mari: Grafic care ne arată cum tind aruncările stemă-ban să se egalizeze pe măsură ce executăm tot mai multe aruncări (ex. pe 10 seturi a 100 de aruncări).

Let X be a real-valued random variable, and let X_1, X_2, X_3, ... be an infinite sequence of independent and identically distributed copies of X. Let \overline{X}_n := \frac{1}{n}(X_1 + \ldots + X_n) be the empirical averages of this sequence. A fundamental theorem in probability theory is the law of large numbers, which comes in both a weak and a strong form:

Weak law of large numbers. Suppose that the first moment {\Bbb E} |X| of X is finite. Then \overline{X}_n converges in probability to {\Bbb E} X, thus \lim_{n \to \infty} {\Bbb P}( |\overline{X}_n - {\Bbb E} X| \geq \varepsilon ) = 0 for every \varepsilon > 0.

Strong law of large numbers. Suppose that the first moment {\Bbb E} |X| of X is finite. Then \overline{X}_n converges almost surely to {\Bbb E} X, thus {\Bbb P}( \lim_{n \to \infty} \overline{X}_n = {\Bbb E} X ) = 1.

[The concepts of convergence in probability and almost sure convergence in probability theory are specialisations of the concepts of convergence in measure and pointwise convergence almost everywhere in measure theory.]

(If one strengthens the first moment assumption to that of finiteness of the second moment {\Bbb E}|X|^2, then we of course have a more precise statement than the (weak) law of large numbers, namely the central limit theorem, but I will not discuss that theorem here.  With even more hypotheses on X, one similarly has more precise versions of the strong law of large numbers, such as the Chernoff inequality, which I will again not discuss here.)

The weak law is easy to prove, but the strong law (which of course implies the weak law, by Egoroff’s theorem) is more subtle, and in fact the proof of this law (assuming just finiteness of the first moment) usually only appears in advanced graduate texts. So I thought I would present a proof here of both laws, which proceeds by the standard techniques of the moment method and truncation. The emphasis in this exposition will be on motivation and methods rather than brevity and strength of results; there do exist proofs of the strong law in the literature that have been compressed down to the size of one page or less, but this is not my goal here.

— The moment method —

The moment method seeks to control the tail probabilities of a random variable (i.e. the probability that it fluctuates far from its mean) by means of moments, and in particular the zeroth, first or second moment. The reason that this method is so effective is because the first few moments can often be computed rather precisely. The first moment method usually employs Markov’s inequality

\displaystyle {\Bbb P}( |X| \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda} {\Bbb E} |X| (1)

(which follows by taking expectations of the pointwise inequality \lambda I(|X| \geq \lambda) \leq |X|), whereas the second moment method employs some version of Chebyshev’s inequality, such as

\displaystyle {\Bbb P}( |X| \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda^2} {\Bbb E} |X|^2 (2)

(note that (2) is just (1) applied to the random variable |X|^2 and to the threshold \lambda^2).

Generally speaking, to compute the first moment one usually employs linearity of expectation

\displaystyle {\Bbb E} X_1 + \ldots + X_n = {\Bbb E} X_1 + \ldots + {\Bbb E} X_n,

whereas to compute the second moment one also needs to understand covariances (which are particularly simple if one assumes pairwise independence), thanks to identities such as

\displaystyle {\Bbb E} (X_1 + \ldots + X_n)^2 = {\Bbb E} X_1^2 + \ldots + {\Bbb E} X_n^2 + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} X_i X_j

or the normalised variant

\displaystyle {\bf Var}(X_1+\ldots+X_n) = {\bf Var}(X_1) + \ldots + {\bf Var}(X_n)

\displaystyle + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} {\bf Cov}(X_i,X_j). (3)

Higher moments can in principle give more precise information, but often require stronger assumptions on the objects being studied, such as joint independence.

Here is a basic application of the first moment method:

Borel-Cantelli lemma. Let E_1, E_2, E_3, \ldots be a sequence of events such that \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n) is finite. Then almost surely, only finitely many of the events E_n are true.

Proof. Let I(E_n) denote the indicator function of the event E_n. Our task is to show that \sum_{n=1}^\infty I(E_n) is almost surely finite. But by linearity of expectation, the expectation of this random variable is \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n), which is finite by hypothesis. By Markov’s inequality (1) we conclude that

\displaystyle {\Bbb P}( \sum_{n=1}^\infty I(E_n) \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda} \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n).

Letting \lambda \to \infty we obtain the claim. \Box

Returning to the law of large numbers, the first moment method gives the following tail bound:

Lemma 1. (First moment tail bound) If {\Bbb E}|X| is finite, then

\displaystyle {\Bbb P}( |\overline{X}_n| \geq \lambda ) \leq \frac{{\Bbb E}|X|}{\lambda}.

Proof. By the triangle inequality, |\overline{X}_n| \leq \overline{|X|}_n. By linearity of expectation, the expectation of \overline{|X|}_n is {\Bbb E}|X|. The claim now follows from Markov’s inequality. \Box

Lemma 1 is not strong enough by itself to prove the law of large numbers in either weak or strong form – in particular, it does not show any improvement as n gets large – but it will be useful to handle one of the error terms in those proofs.

We can get stronger bounds than Lemma 1 – in particular, bounds which improve with n – at the expense of stronger assumptions on X.

Lemma 2. (Second moment tail bound) If {\Bbb E}|X|^2 is finite, then

\displaystyle {\Bbb P}( |\overline{X}_n - {\Bbb E}(X)| \geq \lambda ) \leq \frac{ {\Bbb E}|X - {\Bbb E}(X)|^2 }{n \lambda^2}.

Proof. A standard computation, exploiting (3) and the pairwise independence of the X_i, shows that the variance {\Bbb E} |\overline{X}_n - {\Bbb E}(X)|^2 of the empirical averages \overline{X}_n is equal to \frac{1}{n} times the variance {\Bbb E} |X - {\Bbb E}(X)|^2 of the original variable X. The claim now follows from Chebyshev’s inequality (2). \Box

In the opposite direction, there is the zeroth moment method, more commonly known as the union bound

\displaystyle {\Bbb P}( E_1 \vee \ldots \vee E_n ) \leq \sum_{j=1}^n {\Bbb P}(E_j)

or equivalently (to explain the terminology “zeroth moment”)

\displaystyle {\Bbb E} (X_1 + \ldots + X_n)^0 \leq {\Bbb E} X_1^0 + \ldots + X_n^0

for any non-negative random variables X_1,\ldots,X_n \geq 0. Applying this to the empirical means, we obtain the zeroth moment tail estimate

{\Bbb P} (\overline{X}_n \neq 0) \leq n {\Bbb P}(X \neq 0). (4)

Just as the second moment bound (Lemma 2) is only useful when one has good control on the second moment (or variance) of X, the zeroth moment tail estimate (3) is only useful when we have good control on the zeroth moment {\Bbb E} |X|^0 = {\Bbb P}(X \neq 0), i.e. when X is mostly zero.

— Truncation —

The second moment tail bound (Lemma 2) already gives the weak law of large numbers in the case when X has finite second moment (or equivalently, finite variance). In general, if all one knows about X is that it has finite first moment, then we cannot conclude that X has finite second moment. However, we can perform a truncation

\displaystyle X = X_{\leq N} + X_{>N} (5)

of X at any desired threshold N, where X_{\leq N} := X I(|X| \leq N) and X_{>N} := X I(|X| > N). The first term X_{\leq N} has finite second moment; indeed we clearly have

\displaystyle {\Bbb E} |X_{\leq N}|^2 \leq N {\Bbb E} |X|

and hence also we have finite variance

\displaystyle {\Bbb E} |X_{\leq N} - {\Bbb E} X_{\leq N}|^2 \leq N {\Bbb E} |X|. (6)

The second term X_{>N} may have infinite second moment, but its first moment is well controlled. Indeed, by the monotone convergence theorem, we have

\displaystyle {\Bbb E} |X_{>N}| \to 0 \hbox{ as } N \to \infty. (7)

By the triangle inequality, we conclude that the first term X_{\leq N} has expectation close to {\Bbb E} X:

\displaystyle {\Bbb E} X_{\leq N} \to {\Bbb E}(X) \hbox{ as } N \to \infty. (8)

These are all the tools we need to prove the weak law of large numbers:

Proof of weak law. Let \varepsilon > 0. It suffices to show that whenever n is sufficiently large depending on \varepsilon, that \overline{X}_n = {\Bbb E} X + O(\varepsilon) with probability 1-O(\varepsilon).

From (7), (8), we can find a threshold N (depending on \varepsilon) such that {\Bbb E} |X_{\geq N}| = O(\varepsilon^2) and {\Bbb E} X_{<N} = {\Bbb E} X + O(\varepsilon). Now we use (5) to split

\displaystyle \overline{X}_n = (\overline{X_{\geq N}})_n +(\overline{X_{< N}})_n.

From the first moment tail bound (Lemma 1), we know that (\overline{X_{\geq N}})_n = O(\varepsilon) with probability 1 - O(\varepsilon). From the second moment tail bound (Lemma 2) and (6), we know that (\overline{X_{< N}})_n = {\Bbb E} X_{<N} + O(\varepsilon) = {\Bbb E} X + O(\varepsilon) with probability 1-O(\varepsilon) if n is sufficiently large depending on N and \varepsilon. The claim follows. \Box

— The strong law —

The strong law can be proven by pushing the above methods a bit further, and using a few more tricks.

The first trick is to observe that to prove the strong law, it suffices to do so for non-negative random variables X \geq 0. Indeed, this follows immediately from the simple fact that any random variable X with finite first moment can be expressed as the difference of two non-negative random variables \max(X,0), \max(-X,0) of finite first moment.

Once X is non-negative, we see that the empirical averages \overline{X}_n cannot decrease too quickly in n. In particular we observe that

\displaystyle \overline{X}_m \leq (1+O(\varepsilon)) \overline{X}_n whenever (1-\varepsilon) n \leq m \leq n. (9)

Because of this quasimonotonicity, we can sparsify the set of n for which we need to prove the strong law. More precisely, it suffices to show

Strong law of large numbers, reduced version. Let X be a non-negative random variable with {\Bbb E} X < \infty, and let 1 \leq n_1\leq n_2\leq n_3\leq\ldots be a sequence of integers which is lacunary in the sense that n_{j+1}/n_j > c for some c>1 and all sufficiently large j. Then \overline{X}_{n_j} converges almost surely to {\Bbb E} X.

Indeed, if we could prove the reduced version, then on applying that version to the lacunary sequence n_j := \lfloor (1 + \varepsilon)^j\rfloor and using (9) we would see that almost surely the empirical means \overline{X}_n cannot deviate by more than a multiplicative error of 1+O(\varepsilon) from the mean {\Bbb E} X. Setting \varepsilon := 1/m for m=1,2,3,\ldots (and using the fact that a countable intersection of almost sure events remains almost sure) we obtain the full strong law.

[This sparsification trick is philosophically related to the dyadic pigeonhole principle philosophy; see an old short story of myself on this latter topic. One could easily sparsify further, so that the lacunarity constant c is large instead of small, but this turns out not to help us too much in what follows.]

Now that we have sparsified the sequence, it becomes economical to apply the Borel-Cantelli lemma. Indeed, by many applications of that lemma we see that it suffices to show that

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O( \varepsilon ) ) < \infty (10)

for non-negative X of finite first moment, any lacunary sequence 1 \leq n_1 \leq n_2 \leq \ldots and any \varepsilon > 0. [This is a slight abuse of the O() notation, but it should be clear what is meant by this.]

[If we did not first sparsify the sequence, the Borel-Cantelli lemma would have been too expensive to apply; see Remark 2 below. Generally speaking, Borel-Cantelli is only worth applying when one expects the events E_n to be fairly “disjoint” or “independent” of each other; in the non-lacunary case, the events E_n change very slowly in n, which makes the lemma very inefficient. We will not see how lacunarity is exploited until the punchline at the very end of the proof, but certainly there is no harm in taking advantage of this “free” reduction to the lacunary case now, even if it is not immediately clear how it will be exploited.]

At this point we go back and apply the methods that already worked to give the weak law. Namely, to estimate each of the tail probabilities {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O(\varepsilon) ), we perform a truncation (5) at some threshold N_j. It is not immediately obvious what truncation to perform, so we adopt the usual strategy of leaving N_j unspecified for now and optimising in this parameter later.

We should at least pick N_j large enough so that {\Bbb E} X_{< N_j} = {\Bbb E} X + O(\varepsilon). From the second moment tail estimate (Lemma 2) we conclude that (\overline{X_{< N_j}})_{n_j} is also equal to {\Bbb E} X + O( \varepsilon ) with probability 1-O( \frac{1}{\varepsilon n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 ). One could attempt to simplify this expression using (6), but this turns out to be a little wasteful, so let us hold off on that for now. However, (6) does strongly suggest that we want to take N_j to be something like n_j, which is worth keeping in mind in what follows.

Now we look at the contribution of X_{\geq N_j}. One could use the first moment tail estimate (Lemma 1), but it turns out that the first moment {\Bbb E} X_{> N_j} decays too slowly in j to be of much use (recall that we are expecting N_j to be like the lacunary sequence n_j); the root problem here is that the decay (7) coming from the monotone convergence theorem is ineffective (one could effectivise this using the finite convergence principle, but this turns out to give very poor results here).

But there is one last card to play, which is the zeroth moment method tail estimate (4). As mentioned earlier, this bound is lousy in general – but is very good when X is mostly zero, which is precisely the situation with X_{>N_j}. and in particular we see that (\overline{X_{>N_j}})_{n_j} is zero with probability 1 - O( n_j {\Bbb P}(X > N_j) ).

Putting this all together, we see that

\displaystyle {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O( \varepsilon ) ) \leq O( \frac{1}{\varepsilon n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 ) + O( n_j {\Bbb P}(X > N_j) ).

Summing this in j, we see that we will be done as soon as we figure out how to choose N_j so that

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 (11)


\displaystyle \sum_{j=1}^\infty n_j {\Bbb P}(X > N_j) (12)

are both finite. (As usual, we have a tradeoff: making the N_j larger makes (12) easier to establish at the expense of (11), and vice versa when making N_j smaller.)

Based on the discussion earlier, it is natural to try setting N_j := n_j. Happily, this choice works cleanly; the lacunary nature of n_j ensures (basically from the geometric series formula) that we have the pointwise estimates

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j} |X_{\leq n_j}|^2 = O( X )


\displaystyle \sum_{j=1}^\infty n_j I( X \geq n_j ) = O( X )

(where the implied constant here depends on the sequence n_1, n_2, \ldots, and in particular on the lacunarity constant c). The claims (10), (11) then follow from one last application of linearity of expectation, giving the strong law of large numbers.

Remark 1. The above proof in fact shows that the strong law of large numbers holds even if one only assumes pairwise independence of the X_n, rather than joint independence. \diamond

Remark 2. It is essential that the random variables X_1,X_2,\ldots are “recycled” from one empirical average \overline{X}_n to the next, in order to get the crucial quasimonotonicity property (9). If instead we took completely independent averages \overline{X}_n = \frac{1}{n} (X_{n,1} + \ldots + X_{n,n} ), where the X_{i,j} are all iid, then the strong law of large numbers in fact breaks down with just a first moment assumption. (For a counterexample, consider a random variable X which equals 2^m / m^2 with probability 2^{-m} for m=1,2,3,\ldots; this random variable (barely) has finite first moment, but for n \sim 2^m/m^2, we see that \overline{X}_n deviates by at least absolute constant from its mean with probability \gg 1/m^2. As the empirical means \overline{X}_n for n \sim 2^m/m^2 are now jointly independent, the probability that one of them deviates significantly is now extremely close to 1 (super-exponentially close in m, in fact), leading to the total failure of the strong law in this setting.) Of course, if one restricts attention to a lacunary sequence of n then the above proof goes through in the independent case (since the Borel-Cantelli lemma is insensitive to this independence). By exploiting the joint independence further (e.g. by using Chernoff’s inequality) one can also get the strong law for independent empirical means for the full sequence n under second moment bounds. \diamond

Remark 3. From the perspective of interpolation theory, one can view the above argument as an interpolation argument, establishing an L^1 estimate (10) by interpolating between an L^2 estimate (Lemma 2) and the L^0 estimate (4). \diamond

Remark 4. By viewing the sequence X_1,X_2,\ldots as a stationary process, and thus as a special case of a measure-preserving system one can view the weak and strong law of large numbers as special cases of the mean and pointwise ergodic theorems respectively (see Exercise 9 from 254A Lecture 8 and Theorem 2 from 254A Lecture 9).  \diamond

Sursa terrytao.wordpress.com


Linkul direct catre Petitie

CEREM NATIONALIZAREA TUTUROR RESURSELOR NATURALE ALE ROMANIEI ! - Initiativa Legislativa care are nevoie de 500.000 de semnaturi - Semneaza si tu !


Adauga Comentariu

Citiți și cele mai căutate articole de pe Fluierul:

Una noche mas - Ultima noapte de Dragoste

SEX TAPE made in Romania: 4 vedete autohtone FILMATE făcând perversităţi VIDEO

Directorul, SEX cu profa de matematică în şcoală. Elevii au filmat pe ascuns. VIDEO XXX

Directorul, SEX cu profa de matematică în şcoală. Elevii au filmat pe ascuns. VIDEO XXX

Cele mai bune filme erotice pe care le-ai ratat - Video

Iata ce va urma daca se va privatiza sistemul de sanatate. Copil, mort după o operație la un spital privat. Vii cu el sănătos și pleacă în 4 scânduri

Utile: Murăturile n oțet din comerț pot cauza cancer gastric din cauza aditivilor; Balonarea: cauze, simptome și tratament; Remediile amare. Aceste plante nu trebuie să lipsească din casă

​Caru' cu vedete: Nadia Comăneci, superbă la aproape 57 de ani! Iată ct de bine arată; Ce avere a adunat Ilie Balaci; Daniela Crudu de nerecunoscut din cauza operațiilor

Cel puțin șase copii au murit, alți 12 sunt infectați, în urma unei epidemii cu adenovirus într-un centru medical din SUA

Donald Trump: Modul în care Arabia Saudită a gestionat cazul Khashoggi, una din "cele mai proaste mușamalizări din istorie"

Statele Unite interzic accesul a 21 de saudiți legați de cazul Khashoggi

Deputații votează astăzi legea offshore. Ce beneficii va avea România din exploatarea gazelor

Bancul zilei: Despre votul la Referendum

Luptă "la baionetă" în Grupa Albă de la Turneul Campioanelor. Marea favorită la calificarea în semifinale


Patru militari americani, răniți în Norvegia, înaintea unui exercițiu NATO

TOP 10 cele mai bune ACTRIŢE PORNO din istorie. Sau cum sunt manipulați tinerii de mici FOTO

SUA vor revoca vizele unor oficiali saudiți suspectați de implicare în cazul uciderii lui Khashoggi

Fosta SIRENĂ Magda Ciulac A EȘUAT! Cum ARATĂ CUM ARATĂ ACUM fosta nevastă a lui Tolea ESTE IREAL! FOTO

Soroșiști din toate țările UNIȚI-VĂ! USR și Cioloș vor să se unească.

TUPEU DE Sanador, despre cazul copilului mort: "Au fost respectate toate procedurile și protocoalele". Mai vreti PRIVATIZAREA sănătății? Veți MURI CU ZILE VOI ȘI COPIII VOȘTRI "cu respectarea procedurilor și a protocoalelor"

ORGIE în toaleta unui club din România. Totul a fost filmat cu un telefon mobil. VIDEO

Camera Deputaților votează moțiunea simplă a PNL împotriva ministrului Apelor, Ioan Deneș

Cornel Dinu, dezvăluiri care nu-i fac cinste lui Marcel Popescu. Momentul care l-a fi făcut pe Ilie Balaci să ia calea exilului: "Am aflat o chestie foarte urâtă. Prăduitorul ăsta care-l plângea cu lacrimi de crocodil..."

Extrema dreaptă belgiană: Moneda euro nu este obligatorie, după alegeri vom redesena Europa


Patru militari americani au fost răniți în urma unui accident în Norvegia, înaintea unui amplu exercițiu NATO

Brexit: Sadiq Khan avertizează UE că laburiștii vor fi siliți să respingă planul lui May viznd Brexitul

Avionul Egyptair prăbuşit: Analiza uneia din cutiile negre arată că s-a pronunţat cuvântul "foc"

SUA: Publicitatea electorală pe Facebook a depășit un sfert de miliard de dolari în șase luni

Camera Deputaților votează, decizional, Legea privind combaterea spălării banilor

HOROSCOP 24 OCTOMBRIE 2018: Oboseală, tracasare la serviciu, pierderi financiare şi o vizită la medic

Bulgaria anunță că un mistreț infectat cu pesta porcină africană a fost descoperit la frontiera cu România

MESAJ RUNE săptămâna 24-31 OCTOMBRIE 2018 pentru fiecare ZODIE. Etalarea şi previziunea RUNELOR!

Haos la metroul din Roma, chiar înaintea meciului cu ȚSKA Moscova. VIDEO | O scară rulantă s-a prăbușit și a provocat victime

Cum te poţi relaxa când eşti agitat? 6 obiceiuri care reduc anxietatea

Liga Campionilor: Bayern a cștigat la Atena cu AEK, Valencia doar egal, n Elveția

Donald Trump afirmă că probabil se va întâlni în luna noiembrie cu Vladimir Putin

​VIDEO Răspunsul unei femei, asistată social, la ntrebarea: Știți cum e la muncă?

A fost inaugurat cel mai mare pod maritim din lume

Donald Trump vrea să se întâlnească din nou cu Putin

Tăriceanu: MCV nu este Dumnezeul nostru pe pămnt / Nu aș refuza un pact pe justiție/ Satisfacția pe care a avut-o șeful ALDE cnd a citit raportul Comisiei de la Veneția

Tăriceanu, despre Comisia de la Veneția: Și-au dat avizul la modificarea Constituției în anii 1991 și 2003, iar acum cer din nou, paradoxal, același lucru

A dat norocul peste ea. Ce a primit o ospătăriţă de la un client

Conferință pe tema Acordului de Parteneriat Economic UE-Japonia și impactul acestuia asupra cooperării bilaterale România-Japonia

VIDEO China: Cel mai lung pod maritim din lume a fost inaugurat

Anunț neașteptat: Parlamentul Spaniei sprijină vânzările de arme către Arabia Saudită

Scrisoarea emoționantă a lui Ladislau Boloni după moartea lui Ilie Balaci: Am zărit o stea căzătoare, gonea strălucitoare lăsnd n urma ei o coamă blondă. O găseam frumoasă, dar și foarte, foarte tristă. Și de nențeles



Președintele Iohannis va avea consultări cu partidele pe tema legislației din domeniul Justiției

CCR dezbate astăzi sesizările lui Iohannis, ale Opoziție și ÎCCJ pe modificarea Codului Penal

CCR discută sesizările PNL și USR privind modificările aduse Regulamentului Camerei Deputaților

SUA: Publicitatea electorală pe Facebook a depășit un sfert de miliard de dolari n șase luni

Dragoș Anastasiu: Nu cred că salariul minim ar trebui să fie legat de studii sau de vechimea n muncă, ci de productivitate

Au făcut sex în restaurantul plin de oameni. Ce a făcut ospătăriţa când i-a văzut VIDEO XXX

Cazul jurnalistului saudit asasinat în Turcia: Cinci întrebări fără răspuns

Horoscop zilnic MIERCURI 24 OCTOMBRIE 2018. O zi cu o energie specială! Luna plină şi start de Scorpion!

Patru beneficii ale consumului de miere

Tudorel Toader este așteptat să anunțe astăzi, la ora 18:00, rezultatul evaluării lui Augustin Lazăr

Tăriceanu: MCV-ul nu e Dumnezeul nostru pe pământ. Aștept cu mare curiozitate următorul raport

​Champions League: Juventus, victorie pe Old Trafford, 1-0 cu Manchester United; Real și Bayern au nvins, dar n-au convins (Rezultatele serii)

Șeful ALDE, Călin Popescu Tăriceanu, despre consultările de la Cotroceni: Nu aș refuza ideea unui PACT pe justiție cu toate partidele

Tăriceanu: Ministrul Toader se bucură de susținerea noastră

ATENŢIE, DOAMNELOR! Un bărbat care ţine la voi va face aceste 8 lucruri

Călăuzirea ZILEI pe ZODII de la Arhanghelul Mihail. MIERCURI 24 OCTOMBRIE 2018. Mesajul şi rugăciunea zilei pentru TINE!

LIVE BLOG Liga Campionilor | Juve domină la Manchester, Real conduce, dar fanii fluieră. Dzeko și Kramaric sunt eroii serii, Hoffenheim și Lyon fac spectacol

MESAJUL SĂPTĂMÂNII de la ÎNGERII PĂZITORI ZODII pentru 24-31 octombrie 2018. Află pentru care ASPECT din viaţa ta îl PRIMEŞTI

Ţi se pare că eşti pe o cale greşită? Iată 6 paşi simpli ca să revii pe drumul tău

LIVE BLOG Liga Campionilor | Ronaldo se întoarce cu victorie pe Old Trafford, Real învinge chinuit Viktoria Plzen, Hoffenheim și Lyon oferă meciul serii. Toate rezultatele, marcatorii și clasamentele

Facebook a lansat o bază de date pentru informaţii privind cheltuielile advertiserilor pentru promovare politică

Adevărul despre relația lui Traian Băsescu - Elena Udrea, spus de un fost consilier prezidențial: "Îmbrăcată în roșu, cu o fustă mini provocatoare, atârnând pe biroul lui..."


O femeie a făcut AMOR în timp ce îşi alăpta copilul VIDEO VIRAL

Vica Blochina, GOALĂ la masaj FOTO

Steaua a cerut penalty, Benga nu-și mai amintește :) » Oficialii campioanei vin cu replica: "Și-a creat avantaj"

Tragedie fără margini! Aurel Țicleanu este distrus! I-A MURIT SOȚIA

Călin Popescu Tăriceanu: România nu este în situația ieșirii din Uniunea Europeană

Haltere: Șapte noi medalii pentru România, la Europenele de juniori și tineret

Horoscop: Cele 12 zodii şi problemele lor de cuplu. Ce zodie nu se poate bucura deloc de o relaţie

ONG-ul Progresist "Federația Asociațiilor de Părinți": Avem nevoie de educație sexuală in școli. Opționalul Educație pentru Sănătate trebuie revizuit

Toader va anunța astăzi rezultatul evaluării lui Lazăr - surse

Inteligență artificială: Bina48, robotul care a ținut un curs de Introducere n Etică la Academia Militară din West Point

Salvini despre problema migranților: Macron ar trebui să își facă un examen de conștiință înainte să atace țările vecine

Ministrul de externe al Ecuadorului: Nu suntem avocații domnului Assange

Un suedez a fost arestat în Turcia pentru presupuse legături cu mișcarea separatistă kurdă PKK

Un jurnalist japonez răpit de rețeaua teroristă Al-Qaida n urmă cu trei ani a fost eliberat

Uraganul Willa a ajuns deasupra Mexicului, aducând ploi torențiale și rafale puternice de vânt

LIVE BLOG Liga Campionlor | Man. United - Juventus, cel mai așteptat meci, de la 22:00. AEK Atena - Bayern și Young Boys - Valencia se joacă ACUM: s-au marcat primele goluri ale serii

Oracle cumpără un startup de analiză a firmelor prin inteligență artificială

"Tot ce ține de partea sportivă va trece prin mâna mea". Daniel Stanciu anunță o mare schimbare la CFR: "Există un contract în acest sens!"

Horoscopul lunii decembrie 2014: Ce ţi-au pregătit astrele

Ecuadorul nu va interveni în favoarea fondatorului WikiLeaks, Julian Assange, în relațiile cu Regatul Unit

Ce s-a întâmplat între Iulian de la Exatlon şi mexicanca Ana? "Vor avea un bebe"! Internetul a luat foc

BILANȚUL LUI UEDZI DUPĂ 1 LUNA DE JOC +1.52. Cel mai tare program AI de Pariuri din Lume! Meciurile de AZI si ISTORICUL MECIURILOR din 15 septembrie 2018 alese și pariate de UEDZULA alintat UEDZI, programul de inteligență artificială al Fluierul.ro

Orban despre eventuale alianțe: Vom găsi cea mai bună strategie pentru a câștiga alegerile

Ludovic Orban: Guvernul a stimulat artificial consumul prin creșterea veniturilor, fără o bază economică

Arabia Saudită acordă Pakistanului sprijin financiar de șase miliarde de dolari

Tăriceanu: Nu știu nimic despre remaniere. I-am transmis colegului Dragnea, n urmă cu cteva săptămni, că la ALDE nu am nicio dorință de schimbare

Cele mai vândute maşini în lume, în 2018. Topul achiziţiilor noi este surprinzător

LIVE BLOG Liga Campionilor | Man. United - Juventus, Real - Plzen și Șahtior - City, cele mai interesante meciuri. FOTO | S-a deschis scorul la Madrid și Manchester, englezii se distrează în Ucraina. Dzeko, "dublă" cu ȚSKA

Fiul patronului pistolar de la PAOK, moment superb! FOTO | Imaginea care a "cucerit" Grecia, după marea victorie a lui Răzvan Lucescu

Un medic a publicat o listă cu 43 de colegi morţi în gardă sau a doua zi: Plătim uneori cu viaţa şi întotdeauna cu sănătatea

Orban:Dacă nu generăm nişte propuneri seioase de modificare a legilor Justiţiei, o să intrăm în coliziune cu Uniunea Europeană

LIVE BLOG Liga Campionlor | Toate echipele de start pentru meciurile de la ora 22:00: Man. United - Juventus, derby-ul serii. Bayern s-a distrat, Young Boys a fost la un pas de surpriză

LIVE BLOG Liga Campionilor | Man. United - Juventus, ACUM, în revenirea "acasă" a lui Ronaldo. Real - Plzen, Șahtior - City și Ajax - Benfica, alte meciuri tari. Toate echipele de start + Bayern s-a distrat, Young Boys a fost aproape de surpriză

SUA ameninţă Arabia Saudită: Uciderea jurnalistului Jamal Khashoggi "nu va rămâne fără un răspuns american"

Tăriceanu, schimbare de discurs: Mi-aş dori să găsim un teren comun de discuţie şi de înţelegere

Papa Francisc îl evocă pe Hitler. Fostul dictator nazist ne arată unde duce populismul

EXCLUSIV Dana Gîrbovan, despre dezbaterile din forurile europene: Tema justiției, folosită ca ARMĂ în confruntări/ "Au încredere aceștia în autoritățile române doar într-un caz, iar în celălalt nu?"

Nivelul scăzut de încredere în vaccinuri din Europa creşte riscul de izbucnire a unor epidemii

LIVE BLOG Liga Campionlor | Man. United - Juventus, cel mai așteptat meci, de la 22:00. AEK Atena - Bayern și Young Boys - Valencia se joacă ACUM: s-a marcat primul gol al serii

"Creierul" Spaniei spune stop! "Sunt 99% sigur că acesta este ultimul meu sezon"

Actriţa româncă de filme pentru adulţi explică ce se întâmplă în spatele camerelor. "Mă sună vedete să facem amor în trei, cu iubitul"

Cum petrec Paștele foști și actuali sportivi care aparțin de diferite culte religioase. De la Daniel Zafiris, la Alin Jivan și Sabina Cojocar, de la Talida Tolnai, la Neluțu Sabău și Imi Ienei

Mureș: Fluierarii din Hodac se tem că nu au cui să lase moștenire meseria (FOTO)

SCANDAL în lumea maneliștilor. Florin Salam, acuzat de viol: "Eu aveam 27 de ani și eram virgină"

IMAGINEA ZILEI | Simona și elefanții: peisaj spectaculos în Dubai Garden Glow

Masajul erotic, cheia unei vieţi sexuale sănătoase

Studiu îngrijorător: Unul din zece vizitatori ai site-urilor porno are vârsta mai mică de 10 ani

Pag.1 Pag.2 Pag.3 Pag.4 Pag.5 Pag.6 Pag.7
Pag.8 Pag.9 Pag.10 Pag.11 Pag.12 Pag.13 Pag.14 Pag.15
Pag.16 Pag.17

Nr. de articole la aceasta sectiune: 1944, afisate in 17 pagini.

ieri 05:08 CITATUL ZILEI