Comentarii Adauga Comentariu

Legea numerelor mari

Exemplificarea a manifestării Legii Numerelor Mari: Grafic care ne arată cum tind aruncările stemă-ban să se egalizeze pe măsură ce executăm tot mai multe aruncări (ex. pe 10 seturi a 100 de aruncări).

Let X be a real-valued random variable, and let X_1, X_2, X_3, ... be an infinite sequence of independent and identically distributed copies of X. Let \overline{X}_n := \frac{1}{n}(X_1 + \ldots + X_n) be the empirical averages of this sequence. A fundamental theorem in probability theory is the law of large numbers, which comes in both a weak and a strong form:

Weak law of large numbers. Suppose that the first moment {\Bbb E} |X| of X is finite. Then \overline{X}_n converges in probability to {\Bbb E} X, thus \lim_{n \to \infty} {\Bbb P}( |\overline{X}_n - {\Bbb E} X| \geq \varepsilon ) = 0 for every \varepsilon > 0.

Strong law of large numbers. Suppose that the first moment {\Bbb E} |X| of X is finite. Then \overline{X}_n converges almost surely to {\Bbb E} X, thus {\Bbb P}( \lim_{n \to \infty} \overline{X}_n = {\Bbb E} X ) = 1.

[The concepts of convergence in probability and almost sure convergence in probability theory are specialisations of the concepts of convergence in measure and pointwise convergence almost everywhere in measure theory.]

(If one strengthens the first moment assumption to that of finiteness of the second moment {\Bbb E}|X|^2, then we of course have a more precise statement than the (weak) law of large numbers, namely the central limit theorem, but I will not discuss that theorem here.  With even more hypotheses on X, one similarly has more precise versions of the strong law of large numbers, such as the Chernoff inequality, which I will again not discuss here.)

The weak law is easy to prove, but the strong law (which of course implies the weak law, by Egoroff’s theorem) is more subtle, and in fact the proof of this law (assuming just finiteness of the first moment) usually only appears in advanced graduate texts. So I thought I would present a proof here of both laws, which proceeds by the standard techniques of the moment method and truncation. The emphasis in this exposition will be on motivation and methods rather than brevity and strength of results; there do exist proofs of the strong law in the literature that have been compressed down to the size of one page or less, but this is not my goal here.

— The moment method —

The moment method seeks to control the tail probabilities of a random variable (i.e. the probability that it fluctuates far from its mean) by means of moments, and in particular the zeroth, first or second moment. The reason that this method is so effective is because the first few moments can often be computed rather precisely. The first moment method usually employs Markov’s inequality

\displaystyle {\Bbb P}( |X| \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda} {\Bbb E} |X| (1)

(which follows by taking expectations of the pointwise inequality \lambda I(|X| \geq \lambda) \leq |X|), whereas the second moment method employs some version of Chebyshev’s inequality, such as

\displaystyle {\Bbb P}( |X| \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda^2} {\Bbb E} |X|^2 (2)

(note that (2) is just (1) applied to the random variable |X|^2 and to the threshold \lambda^2).

Generally speaking, to compute the first moment one usually employs linearity of expectation

\displaystyle {\Bbb E} X_1 + \ldots + X_n = {\Bbb E} X_1 + \ldots + {\Bbb E} X_n,

whereas to compute the second moment one also needs to understand covariances (which are particularly simple if one assumes pairwise independence), thanks to identities such as

\displaystyle {\Bbb E} (X_1 + \ldots + X_n)^2 = {\Bbb E} X_1^2 + \ldots + {\Bbb E} X_n^2 + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} X_i X_j

or the normalised variant

\displaystyle {\bf Var}(X_1+\ldots+X_n) = {\bf Var}(X_1) + \ldots + {\bf Var}(X_n)

\displaystyle + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} {\bf Cov}(X_i,X_j). (3)

Higher moments can in principle give more precise information, but often require stronger assumptions on the objects being studied, such as joint independence.

Here is a basic application of the first moment method:

Borel-Cantelli lemma. Let E_1, E_2, E_3, \ldots be a sequence of events such that \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n) is finite. Then almost surely, only finitely many of the events E_n are true.

Proof. Let I(E_n) denote the indicator function of the event E_n. Our task is to show that \sum_{n=1}^\infty I(E_n) is almost surely finite. But by linearity of expectation, the expectation of this random variable is \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n), which is finite by hypothesis. By Markov’s inequality (1) we conclude that

\displaystyle {\Bbb P}( \sum_{n=1}^\infty I(E_n) \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda} \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n).

Letting \lambda \to \infty we obtain the claim. \Box

Returning to the law of large numbers, the first moment method gives the following tail bound:

Lemma 1. (First moment tail bound) If {\Bbb E}|X| is finite, then

\displaystyle {\Bbb P}( |\overline{X}_n| \geq \lambda ) \leq \frac{{\Bbb E}|X|}{\lambda}.

Proof. By the triangle inequality, |\overline{X}_n| \leq \overline{|X|}_n. By linearity of expectation, the expectation of \overline{|X|}_n is {\Bbb E}|X|. The claim now follows from Markov’s inequality. \Box

Lemma 1 is not strong enough by itself to prove the law of large numbers in either weak or strong form – in particular, it does not show any improvement as n gets large – but it will be useful to handle one of the error terms in those proofs.

We can get stronger bounds than Lemma 1 – in particular, bounds which improve with n – at the expense of stronger assumptions on X.

Lemma 2. (Second moment tail bound) If {\Bbb E}|X|^2 is finite, then

\displaystyle {\Bbb P}( |\overline{X}_n - {\Bbb E}(X)| \geq \lambda ) \leq \frac{ {\Bbb E}|X - {\Bbb E}(X)|^2 }{n \lambda^2}.

Proof. A standard computation, exploiting (3) and the pairwise independence of the X_i, shows that the variance {\Bbb E} |\overline{X}_n - {\Bbb E}(X)|^2 of the empirical averages \overline{X}_n is equal to \frac{1}{n} times the variance {\Bbb E} |X - {\Bbb E}(X)|^2 of the original variable X. The claim now follows from Chebyshev’s inequality (2). \Box

In the opposite direction, there is the zeroth moment method, more commonly known as the union bound

\displaystyle {\Bbb P}( E_1 \vee \ldots \vee E_n ) \leq \sum_{j=1}^n {\Bbb P}(E_j)

or equivalently (to explain the terminology “zeroth moment”)

\displaystyle {\Bbb E} (X_1 + \ldots + X_n)^0 \leq {\Bbb E} X_1^0 + \ldots + X_n^0

for any non-negative random variables X_1,\ldots,X_n \geq 0. Applying this to the empirical means, we obtain the zeroth moment tail estimate

{\Bbb P} (\overline{X}_n \neq 0) \leq n {\Bbb P}(X \neq 0). (4)

Just as the second moment bound (Lemma 2) is only useful when one has good control on the second moment (or variance) of X, the zeroth moment tail estimate (3) is only useful when we have good control on the zeroth moment {\Bbb E} |X|^0 = {\Bbb P}(X \neq 0), i.e. when X is mostly zero.

— Truncation —

The second moment tail bound (Lemma 2) already gives the weak law of large numbers in the case when X has finite second moment (or equivalently, finite variance). In general, if all one knows about X is that it has finite first moment, then we cannot conclude that X has finite second moment. However, we can perform a truncation

\displaystyle X = X_{\leq N} + X_{>N} (5)

of X at any desired threshold N, where X_{\leq N} := X I(|X| \leq N) and X_{>N} := X I(|X| > N). The first term X_{\leq N} has finite second moment; indeed we clearly have

\displaystyle {\Bbb E} |X_{\leq N}|^2 \leq N {\Bbb E} |X|

and hence also we have finite variance

\displaystyle {\Bbb E} |X_{\leq N} - {\Bbb E} X_{\leq N}|^2 \leq N {\Bbb E} |X|. (6)

The second term X_{>N} may have infinite second moment, but its first moment is well controlled. Indeed, by the monotone convergence theorem, we have

\displaystyle {\Bbb E} |X_{>N}| \to 0 \hbox{ as } N \to \infty. (7)

By the triangle inequality, we conclude that the first term X_{\leq N} has expectation close to {\Bbb E} X:

\displaystyle {\Bbb E} X_{\leq N} \to {\Bbb E}(X) \hbox{ as } N \to \infty. (8)

These are all the tools we need to prove the weak law of large numbers:

Proof of weak law. Let \varepsilon > 0. It suffices to show that whenever n is sufficiently large depending on \varepsilon, that \overline{X}_n = {\Bbb E} X + O(\varepsilon) with probability 1-O(\varepsilon).

From (7), (8), we can find a threshold N (depending on \varepsilon) such that {\Bbb E} |X_{\geq N}| = O(\varepsilon^2) and {\Bbb E} X_{<N} = {\Bbb E} X + O(\varepsilon). Now we use (5) to split

\displaystyle \overline{X}_n = (\overline{X_{\geq N}})_n +(\overline{X_{< N}})_n.

From the first moment tail bound (Lemma 1), we know that (\overline{X_{\geq N}})_n = O(\varepsilon) with probability 1 - O(\varepsilon). From the second moment tail bound (Lemma 2) and (6), we know that (\overline{X_{< N}})_n = {\Bbb E} X_{<N} + O(\varepsilon) = {\Bbb E} X + O(\varepsilon) with probability 1-O(\varepsilon) if n is sufficiently large depending on N and \varepsilon. The claim follows. \Box

— The strong law —

The strong law can be proven by pushing the above methods a bit further, and using a few more tricks.

The first trick is to observe that to prove the strong law, it suffices to do so for non-negative random variables X \geq 0. Indeed, this follows immediately from the simple fact that any random variable X with finite first moment can be expressed as the difference of two non-negative random variables \max(X,0), \max(-X,0) of finite first moment.

Once X is non-negative, we see that the empirical averages \overline{X}_n cannot decrease too quickly in n. In particular we observe that

\displaystyle \overline{X}_m \leq (1+O(\varepsilon)) \overline{X}_n whenever (1-\varepsilon) n \leq m \leq n. (9)

Because of this quasimonotonicity, we can sparsify the set of n for which we need to prove the strong law. More precisely, it suffices to show

Strong law of large numbers, reduced version. Let X be a non-negative random variable with {\Bbb E} X < \infty, and let 1 \leq n_1\leq n_2\leq n_3\leq\ldots be a sequence of integers which is lacunary in the sense that n_{j+1}/n_j > c for some c>1 and all sufficiently large j. Then \overline{X}_{n_j} converges almost surely to {\Bbb E} X.

Indeed, if we could prove the reduced version, then on applying that version to the lacunary sequence n_j := \lfloor (1 + \varepsilon)^j\rfloor and using (9) we would see that almost surely the empirical means \overline{X}_n cannot deviate by more than a multiplicative error of 1+O(\varepsilon) from the mean {\Bbb E} X. Setting \varepsilon := 1/m for m=1,2,3,\ldots (and using the fact that a countable intersection of almost sure events remains almost sure) we obtain the full strong law.

[This sparsification trick is philosophically related to the dyadic pigeonhole principle philosophy; see an old short story of myself on this latter topic. One could easily sparsify further, so that the lacunarity constant c is large instead of small, but this turns out not to help us too much in what follows.]

Now that we have sparsified the sequence, it becomes economical to apply the Borel-Cantelli lemma. Indeed, by many applications of that lemma we see that it suffices to show that

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O( \varepsilon ) ) < \infty (10)

for non-negative X of finite first moment, any lacunary sequence 1 \leq n_1 \leq n_2 \leq \ldots and any \varepsilon > 0. [This is a slight abuse of the O() notation, but it should be clear what is meant by this.]

[If we did not first sparsify the sequence, the Borel-Cantelli lemma would have been too expensive to apply; see Remark 2 below. Generally speaking, Borel-Cantelli is only worth applying when one expects the events E_n to be fairly “disjoint” or “independent” of each other; in the non-lacunary case, the events E_n change very slowly in n, which makes the lemma very inefficient. We will not see how lacunarity is exploited until the punchline at the very end of the proof, but certainly there is no harm in taking advantage of this “free” reduction to the lacunary case now, even if it is not immediately clear how it will be exploited.]

At this point we go back and apply the methods that already worked to give the weak law. Namely, to estimate each of the tail probabilities {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O(\varepsilon) ), we perform a truncation (5) at some threshold N_j. It is not immediately obvious what truncation to perform, so we adopt the usual strategy of leaving N_j unspecified for now and optimising in this parameter later.

We should at least pick N_j large enough so that {\Bbb E} X_{< N_j} = {\Bbb E} X + O(\varepsilon). From the second moment tail estimate (Lemma 2) we conclude that (\overline{X_{< N_j}})_{n_j} is also equal to {\Bbb E} X + O( \varepsilon ) with probability 1-O( \frac{1}{\varepsilon n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 ). One could attempt to simplify this expression using (6), but this turns out to be a little wasteful, so let us hold off on that for now. However, (6) does strongly suggest that we want to take N_j to be something like n_j, which is worth keeping in mind in what follows.

Now we look at the contribution of X_{\geq N_j}. One could use the first moment tail estimate (Lemma 1), but it turns out that the first moment {\Bbb E} X_{> N_j} decays too slowly in j to be of much use (recall that we are expecting N_j to be like the lacunary sequence n_j); the root problem here is that the decay (7) coming from the monotone convergence theorem is ineffective (one could effectivise this using the finite convergence principle, but this turns out to give very poor results here).

But there is one last card to play, which is the zeroth moment method tail estimate (4). As mentioned earlier, this bound is lousy in general – but is very good when X is mostly zero, which is precisely the situation with X_{>N_j}. and in particular we see that (\overline{X_{>N_j}})_{n_j} is zero with probability 1 - O( n_j {\Bbb P}(X > N_j) ).

Putting this all together, we see that

\displaystyle {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O( \varepsilon ) ) \leq O( \frac{1}{\varepsilon n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 ) + O( n_j {\Bbb P}(X > N_j) ).

Summing this in j, we see that we will be done as soon as we figure out how to choose N_j so that

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 (11)


\displaystyle \sum_{j=1}^\infty n_j {\Bbb P}(X > N_j) (12)

are both finite. (As usual, we have a tradeoff: making the N_j larger makes (12) easier to establish at the expense of (11), and vice versa when making N_j smaller.)

Based on the discussion earlier, it is natural to try setting N_j := n_j. Happily, this choice works cleanly; the lacunary nature of n_j ensures (basically from the geometric series formula) that we have the pointwise estimates

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j} |X_{\leq n_j}|^2 = O( X )


\displaystyle \sum_{j=1}^\infty n_j I( X \geq n_j ) = O( X )

(where the implied constant here depends on the sequence n_1, n_2, \ldots, and in particular on the lacunarity constant c). The claims (10), (11) then follow from one last application of linearity of expectation, giving the strong law of large numbers.

Remark 1. The above proof in fact shows that the strong law of large numbers holds even if one only assumes pairwise independence of the X_n, rather than joint independence. \diamond

Remark 2. It is essential that the random variables X_1,X_2,\ldots are “recycled” from one empirical average \overline{X}_n to the next, in order to get the crucial quasimonotonicity property (9). If instead we took completely independent averages \overline{X}_n = \frac{1}{n} (X_{n,1} + \ldots + X_{n,n} ), where the X_{i,j} are all iid, then the strong law of large numbers in fact breaks down with just a first moment assumption. (For a counterexample, consider a random variable X which equals 2^m / m^2 with probability 2^{-m} for m=1,2,3,\ldots; this random variable (barely) has finite first moment, but for n \sim 2^m/m^2, we see that \overline{X}_n deviates by at least absolute constant from its mean with probability \gg 1/m^2. As the empirical means \overline{X}_n for n \sim 2^m/m^2 are now jointly independent, the probability that one of them deviates significantly is now extremely close to 1 (super-exponentially close in m, in fact), leading to the total failure of the strong law in this setting.) Of course, if one restricts attention to a lacunary sequence of n then the above proof goes through in the independent case (since the Borel-Cantelli lemma is insensitive to this independence). By exploiting the joint independence further (e.g. by using Chernoff’s inequality) one can also get the strong law for independent empirical means for the full sequence n under second moment bounds. \diamond

Remark 3. From the perspective of interpolation theory, one can view the above argument as an interpolation argument, establishing an L^1 estimate (10) by interpolating between an L^2 estimate (Lemma 2) and the L^0 estimate (4). \diamond

Remark 4. By viewing the sequence X_1,X_2,\ldots as a stationary process, and thus as a special case of a measure-preserving system one can view the weak and strong law of large numbers as special cases of the mean and pointwise ergodic theorems respectively (see Exercise 9 from 254A Lecture 8 and Theorem 2 from 254A Lecture 9).  \diamond

Sursa terrytao.wordpress.com


Linkul direct catre Petitie

CEREM NATIONALIZAREA TUTUROR RESURSELOR NATURALE ALE ROMANIEI ! - Initiativa Legislativa care are nevoie de 500.000 de semnaturi - Semneaza si tu !


Adauga Comentariu

Citiți și cele mai căutate articole de pe Fluierul:

Legea Offshore. Lauda lui Dragnea nu e altceva decât Trădare de Țară. Dan Chitic "Am fost trădați în proporție de 65%". Dați-Vă demisia şi plecați căci ați instituit jaful prin lege

Marea Britanie. Theresa May evită înfrângerea cu 3 voturi aruncând Brexitul într-un şi mai mare haos

Directorul, SEX cu profa de matematică în şcoală. Elevii au filmat pe ascuns. VIDEO XXX

Federaliștii din Comisia de la Veneția se pișă pe Parlament, pe CCR și pe Constituția României. Comisia vrea să facă Legile Justiției din România exact pe DOS decât le-a votat Parlamentul legitim ales și pe Dos decât le-a validat Curtea Constituțională

SEX TAPE made in Romania: 4 vedete autohtone FILMATE făcând perversităţi VIDEO

Războiul progresist împotriva Curiozității și a Libertății de Gândire. VIDEO - Uitați-vă în ce hal i-a îndoctrinat rețeaua progresistă pe tinerii din ziua de azi și la ce fanatism au ajuns. Marx, Engels și Lenin aplaudă din morminte

Directorul, SEX cu profa de matematică în şcoală. Elevii au filmat pe ascuns. VIDEO XXX

Prezentatoare TV în sânii goi, după ce a fost trădată de rochie în direct VIDEO

OPRIȚI JAFUL. NORVEGIA. Sistemul de taxare al Petrolului. Norvegienii îi taxează pe cei care le extrag petrolul cu 78%. România e Jefuită Noi îi taxăm cu 19.5% : 3,5% redevențe şi 16% impozitul pe profitul sifonat

MOSTENIREA nestiuta a lui Ceausescu! America e SOCATA de ce a descoperit in Romania
ULTIMA ORA: Dusmanii tarii vor sa ascunda adevarul

ORGIE în toaleta unui club din România. Totul a fost filmat cu un telefon mobil. VIDEO

O fostă majoretă a făcut SEX cu un elev de 15 ani! Filmul XXX a ajuns pe INTERNET. VIDEO

Cum fac SEX rusoaicele, nemţoaicele sau italiencele. Clipul care a făcut senzaţie pe net VIDEO

Oamenii de știință au reușit să controleze frecvența semnalelor trimise qubiților cuantici cu o precizie extraordinară controlând fiecare atom în parte

Milioane de români riscă amenzi, modificare OBLIGATORIE care trebuie făcută în apartamentele de la bloc

TOP 10 cele mai bune ACTRIŢE PORNO din istorie. Sau cum sunt manipulați tinerii de mici FOTO

Business report: Noua lege a asociațiilor de proprietari: Nu plătești ntreținerea te trezești cu ipotecă; Criză n sănătate: De ce dispar medicamentele?; Situația n care au ajuns mii de oameni care au luat credit pe viață pentru o locuință

Au făcut sex în restaurantul plin de oameni. Ce a făcut ospătăriţa când i-a văzut VIDEO XXX

Darius Vlcov anunță că va urma o dezvoltare extrem de accelerată a acestei țări: Toate pensiile din Romnia se vor dubla, se vor construi 3 autostrăzi, gazele se vor ieftini cu 20%, vom avea canal Dunăre-București și o stațiune de schi n Făgăraș

Georges Lemaître, lăudat de Einstein: "Este cea mai frumoasă şi satisfăcătoare explicaţie a creaţiei pe care am ascultat-o"

Trump a părăsit Marea Britanie, lansând un nou atac la adresa rețelei şi presei progresiste pe care le-a numit "dușmani ai poporului": "Din cauza lor există atâta ură și disensiuni în țara noastră"

EDU.RO REZULTATE TITULARIZARE 2018: Note mici pentru profesori, rezultatele după contestaţii pe 24 iulie

Brexit: Parlamentul britanic votează pentru o politică vamală independentă post-Brexit/ ncă un ministru britanic demisionează din echipa premierului Theresa May

Ce trebuie să bei ca să-ţi cureţi ficatul şi să slabeşti în 72 de ore

Putin dezvăluie că Trump consideră Crimeea parte a Ucrainei

Simona Halep, distracţie la Mamaia. Cum a fost surprinsă în Loft alături de Codin Maticiuc

Un turist a întrebat un om al străzii, fără MÂINI, cum ajunge într-un anumit loc. Imediat după aceea a simțit o durere puternică, iar apoi a ajuns la spital. Cazul BIZAR a uimit polițiștii

Cele șapte bombe cu ceas pe care stă Capitala

Cum recunoașteți modelele străvechi de pe IE față de cele inventate recent. Cum recunoști o IE cu modele străvechi românești, de UN KITSCH.

CERT-RO avertizează că atacatorii șantajează utilizatorii afișnd parole ale conturilor obțiute n urma unor scurgeri de informații de la companii mari precum Yahoo, Dropbox, LinkedIn sau Uber

IESITI DE PE SNAPCHAT. Snapchat, rețeaua care își autodistruge mesajele, începe să transmită publicitate

Vasile Miriuță știe ce-i trebuie lui Mbappe pentru a deveni cel mai bun din lume: "Trebuie să facă asta!" | VIDEO EXCLUSIV

Darius Vlcov, un banc despre el, Liviu Dragnea și doi morți n cimitir. Ce mai spune consilierul premierului despre dosarul n care a fost condamnat la 8 ani de nchisoare

Se relaxau pe o ambarcațiune de agrement când a LOVIT, venită parcă de nicăieri: 22 de persoane au fost RĂNITE, dintre care 3 grav. "Am auzit o bubuitură asurzitoare, apoi am văzut piciorul rupt al unei femei"

De ce a avut doar Putin umbrelă la finala Cupei Mondiale. Serviciile ar avea explicația

Accident mortal în Prahova. La volan se afla o tânără de 17 ani

Finala "Next Star": o contorsionistă în vârstă de 12 ani a uimit juriul și a câștigat marele premiu FOTO VIDEO

Eșec răsunător pentru cel mai scump film din istoria cinematografului chinez / Pelicula a fost retrasă din săli după trei zile

Scena cu zeci de copii la Festivalul Mamaia Copiilor a cedat. Clipe de panică

​Rezultate Titularizare 2018 S-au afișat rezultatele de la titularizare

Cristina Cioran, abuzată sexual: "Avea o faţă de şobolan, nu o să uit niciodată figura aia"

A fost publicată ordinea de zi a ședinței de guvern: O singură OUG pe agendă, viznd cercetarea, și un proiect de lege privind pensiile militare

Câți copii a avut Ștefan cel Mare? Controversa celor opt copii din flori ai domnitorului - ce au descoperit istoricii

BRD Bucharest Open: Mihaela Buzărnescu și Raluca Olaru, n sferturi la dublu

Coreea: S-au reluat comunicațiile militare între Nord și Sud

Putin i-a propus lui Trump prelungirea tratatului START

Summit Trump-Putin: O istorie de ntlniri tensionate ntre președinți ai SUA și premieri ai Rusiei

Cristiano Ronaldo i-a lansat provocarea lui Messi! Ce a declarat despre marele său rival chiar la prezentarea oficială la Juventus

CCR discută sesizarea preşedintelui Iohannis privind trei legi din domeniul Educaţiei

Subiectele zilei:Indiferent ce-ar fi, nu se face nicio pușcărie. Inculpații din dosarul CNAS așteptau modificările PSD la Codul penal; Transplantul și donarea de organe situație dezastruoasă n Romnia; ntlnirea Trump-Putin, din perspectivă romnească

NY Times, despre Europa: Pentru a-i nfrnge pe naționaliștii de extrema dreaptă, nu ncerca să-i imiți

Celulele cu un set minimal de gene proiectate în laborator dezvăluie gene esențiale vieții

​Rezultate Titularizare 2018 Rezultatele de la titularizare se publică marți

Tomac, referitor la proiectul de lege privind statutul aleșilor locali: PSD vrea să fure cât mai mulți oameni de la PMP

Mitsubishi Eclipse Cross - Mai mult decât un SUV de oraș - GALERIE FOTO

Boeing 737 prăbuşit dintr-o eroare de pilotaj imediat după decolare. Peste 110 pasageri au murit

Dolj: O tânără a murit într-un accident produs de un adolescent fără permis și în stare de ebrietate

Satul din România unde nu se fură. Cuvintele hoţ şi furt nu există

Acestea sunt cele mai compatibile 6 perechi de zodii

Bianca Drăguşanu, anunţ pe Instagram după ce Tristan Tate a fost surprins în tandreţuri cu o brunetă sexy

Bilderbergul progresist Timmermans despre impunerea căsătoriei homosexuale tuturor țărilor din UE

Poveste adevărată. "Sunt Irina, am 20 de ani şi am facut videochat în..."

Arma secretă a lui Gigi Becali pentru noul sezon. Surpriza pregătită de FCSB înainte de cupele europene şi Liga 1

Rămășițele pământești ale țarului Nicolae al II-lea și ale familiei sale, AUTENTIFICATE cu ajutorul unor noi teste ADN, la 100 de ani de la asasinat

Fake news moldovenesc după modelul Gabriel Oprea. Cum sunt manipulaţi moldovenii cu ştiri false şi site-uri clonă

Un premier european a lăsat să se înțeleagă că summitul Trump - Putin a fost un succes: Demonstrează că problemele globale pot fi rezolvate prin dialog

​EXCLUSIV Finanțele iau n calcul ca amnistia fiscală să se aplice celor cu datorii la 31 decembrie 2017 (surse)

Ce au pățit fanii care au intrat pe teren la finala Cupei Mondiale! Autoritățile ruse au decis să-i dea ca exemplu

Uniunea Europeană și Japonia au semnat un acord istoric de liber-schimb

Topul celor mai frecvente greşeli pe care le fac părinţii

Naționala Franței, scoasă de urgență din hotel! Deschamps a fugit în pijamale. "M-am gândit: sunt mort"

Zodii dependente de dragoste, visează la o relaţie ca-n poveşti

Un boxer și un actor, lideri în topul celor mai bine plătite personalități din divertisment

Becali se declară aproape învins în privința ultimului transfer pe care l-a încercat! Probleme cu atacantul dorit: "Sunt foarte pretențioși"

Deputat PNL: Legea offshore nu poate fi modificată prin OUG, pentru că încă nu e promulgată

Darius Vâlcov, eminența cenușie a programului economic al PSD: Toate pensiile din România se vor dubla

MIREASĂ prinsă de CAVALERUL de ONOARE în timp ce îşi înşela SOŢUL: Cine este BĂRBATUL ăsta? VIDEO

Şoc în showbiz, a murit la 49 de ani în propria locuinţă. Era unul dintre cele mai bogate modele din lume

În timp ce decizia României e ținută secretă, Cehia nu vrea să primească migranții pe care Italia vrea să-i trimită în Europa. "Solicitarea Italiei de repartizare a unor migranți, e calea către infern", consideră premierul ceh

Șapte persoane au fost rănite în urma unui carambol produs în județul Suceava


Putin: Zvonurile referitoare la existența unor dosare compromițătoare despre Trump sunt ''o absurditate''

Rezultate titularizare 2018, emoţii pentru 31.000 de candidaţi. Când se face repartizarea candidaţilor

Guvernul se reuneşte marţi în şedinţă. Tăriceanu spune că scopul este adoptarea unei OUG privind mediul

Două persoane, reţinute în cazul celor doi bărbaţi găsiţi morţi la sediul unei firme de pe Bulevardul Timişoara din Capitală

Carambol în judeţul Suceava: Şapte persoane au fost rănite

Rezultate Titularizare 2018 | Notele obținute de profesori la examen vor fi afișate marți

EXCLUSIV | De ce a fost Franța ca un șarpe, cine a fost "motorul" echipei și cum s-a dezvoltat fotbalul în Hexagon! Lupescu: "Au început după o idee a unui român"

Un cutremur cu magnitudinea de 2,4 pe scara Richter a fost înregistrat în Prahova

Surpriză la reunirea Academiei Rapid! Un fost jucător al FCSB a ajuns în Giulești și începe pregătirea pentru Liga 3

Iași: Țigări ascunse în cutii cu mere, descoperite de polițiștii de frontieră în vama Stânca

Cutremur aproape de Bucureşti marţi dimineaţă

Acțiunile Tesla au scăzut după ce Musk l-a făcut pedofil pe unul dintre scufundătorii care au salvat copii blocați n peștera thailandeză

EXCLUSIV | Un antrenor român "a pus ochii" pe președinta Croației, după ce imaginile cu ea udă au făcut înconjurul lumii. "Sunt acasă, dar nu mă aude nevasta..."

Datoriile persoanelor fizice dinainte de 31 decembrie 2017 ar putea fi şterse. Lista datornicilor ar putea fi ştearsă de ANAF

REZULTATE TITULARIZARE 2017: 121 note de 10. Doljul, cel mai bun judeţ, iar Caraş Severin cel mai slab

Încă o țară începe procesul de monitorizare pentru aderarea la Uniunea Europeană

Jocurile slime sunt potențial otrăvitoare, avertizează un serviciu britanic de protecția consumatorilor

SFANTUL ILIE 2018: ce trebuie să facă fetele tinere în AJUNUL de SF. Ilie. Ce se întâmplă dacă tună în această zi

Sex anal din dragoste pentru o minoră

Minorul beat care a provocat un accident mortal în Craiova este fiul unor judecători

Platforma care te ajută să dezvolți propriul exchange de criptomonede

HOROSCOP ZILNIC 18 IULIE 2018: Sentimentele şi inima vă vor stabili deciziile de miercuri

Guvernul vrea consitutirea unor echipe mixte de patrulă la frontiera de stat cu Republica Moldova

Primăria Capitalei: A început un nou tratatament împotriva țânțarilor, cu peste 600 litri de soluție

Starul de 19 ani al francezilor, Kylian Mbappé, și-a donat toate câștigurile de la Cupa Mondială către copiii defavorizați

Accident mortal provocat de fiul minor al unui judecător din Dolj. Adolescentul era beat. O fată de 18 ani a murit


Decizie judecătorească: Vaccinul produs de firma Glaxo provoaca autism! Vaccinul "Infanrix Hexa”, este un vaccin hexavalent, administrat in primul an de viata, care „protejează” de poliomielita, difterie, tetanos, hepatita B, tusea convulsiva, haemophilius

Georges Lemaître, cine a fost preotul-savant continuat de Stephen Hawking

"Clubul confirmă negocierile!". Bolt, tot mai aproape să-și îndeplinească marele vis de a deveni fotbalist. Cu ce echipă poate semna

Antrenorul român care și-ar dori să-l cunoască pe Deschamps. Avantajul? "Vorbesc franceza" :)) | EXCLUSIV VIDEO

BNR va coordona un program prin care un grup hackeri etici vor ataca sistemele informatice ale băncilor comerciale

Activiștii Pussy Riot, condamnați la 15 zile de nchisoare după ce au intrat pe teren la finala Cupei Mondiale

Vladimir Putin: Rusia va reacționa "extrem de negativ" la aderarea Ucrainei și Georgiei la NATO

Ct costă o franciză Pegas

Putin dezvăluie tema în dezacord cu președintele Trump, la Helsinki: Dacă asta e anexare, atunci ce este democrația?

ProSport Live powered by Mercedes | Ultima sută de metri până la startul Ligii 1 Betano!

Națiunea franceză, în alertă: Franța începe să elibereze sute de oameni acuzați de terorism sau care s-au radicalizat

FCSB - DINAMO 2018: Cât costă un bilet la primul derby din noul sezon

Pag.1 Pag.2 Pag.3 Pag.4 Pag.5 Pag.6 Pag.7
Pag.8 Pag.9 Pag.10

Nr. de articole la aceasta sectiune: 1176, afisate in 10 pagini.