23:59
Comentarii Adauga Comentariu

Legea numerelor mari

Exemplificarea a manifestării Legii Numerelor Mari: Grafic care ne arată cum tind aruncările stemă-ban să se egalizeze pe măsură ce executăm tot mai multe aruncări (ex. pe 10 seturi a 100 de aruncări).





Let X be a real-valued random variable, and let X_1, X_2, X_3, ... be an infinite sequence of independent and identically distributed copies of X. Let \overline{X}_n := \frac{1}{n}(X_1 + \ldots + X_n) be the empirical averages of this sequence. A fundamental theorem in probability theory is the law of large numbers, which comes in both a weak and a strong form:

Weak law of large numbers. Suppose that the first moment {\Bbb E} |X| of X is finite. Then \overline{X}_n converges in probability to {\Bbb E} X, thus \lim_{n \to \infty} {\Bbb P}( |\overline{X}_n - {\Bbb E} X| \geq \varepsilon ) = 0 for every \varepsilon > 0.

Strong law of large numbers. Suppose that the first moment {\Bbb E} |X| of X is finite. Then \overline{X}_n converges almost surely to {\Bbb E} X, thus {\Bbb P}( \lim_{n \to \infty} \overline{X}_n = {\Bbb E} X ) = 1.

[The concepts of convergence in probability and almost sure convergence in probability theory are specialisations of the concepts of convergence in measure and pointwise convergence almost everywhere in measure theory.]

(If one strengthens the first moment assumption to that of finiteness of the second moment {\Bbb E}|X|^2, then we of course have a more precise statement than the (weak) law of large numbers, namely the central limit theorem, but I will not discuss that theorem here.  With even more hypotheses on X, one similarly has more precise versions of the strong law of large numbers, such as the Chernoff inequality, which I will again not discuss here.)

The weak law is easy to prove, but the strong law (which of course implies the weak law, by Egoroff’s theorem) is more subtle, and in fact the proof of this law (assuming just finiteness of the first moment) usually only appears in advanced graduate texts. So I thought I would present a proof here of both laws, which proceeds by the standard techniques of the moment method and truncation. The emphasis in this exposition will be on motivation and methods rather than brevity and strength of results; there do exist proofs of the strong law in the literature that have been compressed down to the size of one page or less, but this is not my goal here.

— The moment method —

The moment method seeks to control the tail probabilities of a random variable (i.e. the probability that it fluctuates far from its mean) by means of moments, and in particular the zeroth, first or second moment. The reason that this method is so effective is because the first few moments can often be computed rather precisely. The first moment method usually employs Markov’s inequality

\displaystyle {\Bbb P}( |X| \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda} {\Bbb E} |X| (1)

(which follows by taking expectations of the pointwise inequality \lambda I(|X| \geq \lambda) \leq |X|), whereas the second moment method employs some version of Chebyshev’s inequality, such as

\displaystyle {\Bbb P}( |X| \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda^2} {\Bbb E} |X|^2 (2)

(note that (2) is just (1) applied to the random variable |X|^2 and to the threshold \lambda^2).

Generally speaking, to compute the first moment one usually employs linearity of expectation

\displaystyle {\Bbb E} X_1 + \ldots + X_n = {\Bbb E} X_1 + \ldots + {\Bbb E} X_n,

whereas to compute the second moment one also needs to understand covariances (which are particularly simple if one assumes pairwise independence), thanks to identities such as

\displaystyle {\Bbb E} (X_1 + \ldots + X_n)^2 = {\Bbb E} X_1^2 + \ldots + {\Bbb E} X_n^2 + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} X_i X_j

or the normalised variant

\displaystyle {\bf Var}(X_1+\ldots+X_n) = {\bf Var}(X_1) + \ldots + {\bf Var}(X_n)

\displaystyle + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} {\bf Cov}(X_i,X_j). (3)

Higher moments can in principle give more precise information, but often require stronger assumptions on the objects being studied, such as joint independence.

Here is a basic application of the first moment method:

Borel-Cantelli lemma. Let E_1, E_2, E_3, \ldots be a sequence of events such that \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n) is finite. Then almost surely, only finitely many of the events E_n are true.

Proof. Let I(E_n) denote the indicator function of the event E_n. Our task is to show that \sum_{n=1}^\infty I(E_n) is almost surely finite. But by linearity of expectation, the expectation of this random variable is \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n), which is finite by hypothesis. By Markov’s inequality (1) we conclude that

\displaystyle {\Bbb P}( \sum_{n=1}^\infty I(E_n) \geq \lambda ) \leq \frac{1}{\lambda} \sum_{n=1}^\infty {\Bbb P}(E_n).

Letting \lambda \to \infty we obtain the claim. \Box

Returning to the law of large numbers, the first moment method gives the following tail bound:

Lemma 1. (First moment tail bound) If {\Bbb E}|X| is finite, then

\displaystyle {\Bbb P}( |\overline{X}_n| \geq \lambda ) \leq \frac{{\Bbb E}|X|}{\lambda}.

Proof. By the triangle inequality, |\overline{X}_n| \leq \overline{|X|}_n. By linearity of expectation, the expectation of \overline{|X|}_n is {\Bbb E}|X|. The claim now follows from Markov’s inequality. \Box

Lemma 1 is not strong enough by itself to prove the law of large numbers in either weak or strong form – in particular, it does not show any improvement as n gets large – but it will be useful to handle one of the error terms in those proofs.

We can get stronger bounds than Lemma 1 – in particular, bounds which improve with n – at the expense of stronger assumptions on X.

Lemma 2. (Second moment tail bound) If {\Bbb E}|X|^2 is finite, then

\displaystyle {\Bbb P}( |\overline{X}_n - {\Bbb E}(X)| \geq \lambda ) \leq \frac{ {\Bbb E}|X - {\Bbb E}(X)|^2 }{n \lambda^2}.

Proof. A standard computation, exploiting (3) and the pairwise independence of the X_i, shows that the variance {\Bbb E} |\overline{X}_n - {\Bbb E}(X)|^2 of the empirical averages \overline{X}_n is equal to \frac{1}{n} times the variance {\Bbb E} |X - {\Bbb E}(X)|^2 of the original variable X. The claim now follows from Chebyshev’s inequality (2). \Box

In the opposite direction, there is the zeroth moment method, more commonly known as the union bound

\displaystyle {\Bbb P}( E_1 \vee \ldots \vee E_n ) \leq \sum_{j=1}^n {\Bbb P}(E_j)

or equivalently (to explain the terminology “zeroth moment”)

\displaystyle {\Bbb E} (X_1 + \ldots + X_n)^0 \leq {\Bbb E} X_1^0 + \ldots + X_n^0

for any non-negative random variables X_1,\ldots,X_n \geq 0. Applying this to the empirical means, we obtain the zeroth moment tail estimate

{\Bbb P} (\overline{X}_n \neq 0) \leq n {\Bbb P}(X \neq 0). (4)

Just as the second moment bound (Lemma 2) is only useful when one has good control on the second moment (or variance) of X, the zeroth moment tail estimate (3) is only useful when we have good control on the zeroth moment {\Bbb E} |X|^0 = {\Bbb P}(X \neq 0), i.e. when X is mostly zero.

— Truncation —

The second moment tail bound (Lemma 2) already gives the weak law of large numbers in the case when X has finite second moment (or equivalently, finite variance). In general, if all one knows about X is that it has finite first moment, then we cannot conclude that X has finite second moment. However, we can perform a truncation

\displaystyle X = X_{\leq N} + X_{>N} (5)

of X at any desired threshold N, where X_{\leq N} := X I(|X| \leq N) and X_{>N} := X I(|X| > N). The first term X_{\leq N} has finite second moment; indeed we clearly have

\displaystyle {\Bbb E} |X_{\leq N}|^2 \leq N {\Bbb E} |X|

and hence also we have finite variance

\displaystyle {\Bbb E} |X_{\leq N} - {\Bbb E} X_{\leq N}|^2 \leq N {\Bbb E} |X|. (6)

The second term X_{>N} may have infinite second moment, but its first moment is well controlled. Indeed, by the monotone convergence theorem, we have

\displaystyle {\Bbb E} |X_{>N}| \to 0 \hbox{ as } N \to \infty. (7)

By the triangle inequality, we conclude that the first term X_{\leq N} has expectation close to {\Bbb E} X:

\displaystyle {\Bbb E} X_{\leq N} \to {\Bbb E}(X) \hbox{ as } N \to \infty. (8)

These are all the tools we need to prove the weak law of large numbers:

Proof of weak law. Let \varepsilon > 0. It suffices to show that whenever n is sufficiently large depending on \varepsilon, that \overline{X}_n = {\Bbb E} X + O(\varepsilon) with probability 1-O(\varepsilon).

From (7), (8), we can find a threshold N (depending on \varepsilon) such that {\Bbb E} |X_{\geq N}| = O(\varepsilon^2) and {\Bbb E} X_{<N} = {\Bbb E} X + O(\varepsilon). Now we use (5) to split

\displaystyle \overline{X}_n = (\overline{X_{\geq N}})_n +(\overline{X_{< N}})_n.

From the first moment tail bound (Lemma 1), we know that (\overline{X_{\geq N}})_n = O(\varepsilon) with probability 1 - O(\varepsilon). From the second moment tail bound (Lemma 2) and (6), we know that (\overline{X_{< N}})_n = {\Bbb E} X_{<N} + O(\varepsilon) = {\Bbb E} X + O(\varepsilon) with probability 1-O(\varepsilon) if n is sufficiently large depending on N and \varepsilon. The claim follows. \Box

— The strong law —

The strong law can be proven by pushing the above methods a bit further, and using a few more tricks.

The first trick is to observe that to prove the strong law, it suffices to do so for non-negative random variables X \geq 0. Indeed, this follows immediately from the simple fact that any random variable X with finite first moment can be expressed as the difference of two non-negative random variables \max(X,0), \max(-X,0) of finite first moment.

Once X is non-negative, we see that the empirical averages \overline{X}_n cannot decrease too quickly in n. In particular we observe that

\displaystyle \overline{X}_m \leq (1+O(\varepsilon)) \overline{X}_n whenever (1-\varepsilon) n \leq m \leq n. (9)

Because of this quasimonotonicity, we can sparsify the set of n for which we need to prove the strong law. More precisely, it suffices to show

Strong law of large numbers, reduced version. Let X be a non-negative random variable with {\Bbb E} X < \infty, and let 1 \leq n_1\leq n_2\leq n_3\leq\ldots be a sequence of integers which is lacunary in the sense that n_{j+1}/n_j > c for some c>1 and all sufficiently large j. Then \overline{X}_{n_j} converges almost surely to {\Bbb E} X.

Indeed, if we could prove the reduced version, then on applying that version to the lacunary sequence n_j := \lfloor (1 + \varepsilon)^j\rfloor and using (9) we would see that almost surely the empirical means \overline{X}_n cannot deviate by more than a multiplicative error of 1+O(\varepsilon) from the mean {\Bbb E} X. Setting \varepsilon := 1/m for m=1,2,3,\ldots (and using the fact that a countable intersection of almost sure events remains almost sure) we obtain the full strong law.

[This sparsification trick is philosophically related to the dyadic pigeonhole principle philosophy; see an old short story of myself on this latter topic. One could easily sparsify further, so that the lacunarity constant c is large instead of small, but this turns out not to help us too much in what follows.]

Now that we have sparsified the sequence, it becomes economical to apply the Borel-Cantelli lemma. Indeed, by many applications of that lemma we see that it suffices to show that

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O( \varepsilon ) ) < \infty (10)

for non-negative X of finite first moment, any lacunary sequence 1 \leq n_1 \leq n_2 \leq \ldots and any \varepsilon > 0. [This is a slight abuse of the O() notation, but it should be clear what is meant by this.]

[If we did not first sparsify the sequence, the Borel-Cantelli lemma would have been too expensive to apply; see Remark 2 below. Generally speaking, Borel-Cantelli is only worth applying when one expects the events E_n to be fairly “disjoint” or “independent” of each other; in the non-lacunary case, the events E_n change very slowly in n, which makes the lemma very inefficient. We will not see how lacunarity is exploited until the punchline at the very end of the proof, but certainly there is no harm in taking advantage of this “free” reduction to the lacunary case now, even if it is not immediately clear how it will be exploited.]

At this point we go back and apply the methods that already worked to give the weak law. Namely, to estimate each of the tail probabilities {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O(\varepsilon) ), we perform a truncation (5) at some threshold N_j. It is not immediately obvious what truncation to perform, so we adopt the usual strategy of leaving N_j unspecified for now and optimising in this parameter later.

We should at least pick N_j large enough so that {\Bbb E} X_{< N_j} = {\Bbb E} X + O(\varepsilon). From the second moment tail estimate (Lemma 2) we conclude that (\overline{X_{< N_j}})_{n_j} is also equal to {\Bbb E} X + O( \varepsilon ) with probability 1-O( \frac{1}{\varepsilon n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 ). One could attempt to simplify this expression using (6), but this turns out to be a little wasteful, so let us hold off on that for now. However, (6) does strongly suggest that we want to take N_j to be something like n_j, which is worth keeping in mind in what follows.

Now we look at the contribution of X_{\geq N_j}. One could use the first moment tail estimate (Lemma 1), but it turns out that the first moment {\Bbb E} X_{> N_j} decays too slowly in j to be of much use (recall that we are expecting N_j to be like the lacunary sequence n_j); the root problem here is that the decay (7) coming from the monotone convergence theorem is ineffective (one could effectivise this using the finite convergence principle, but this turns out to give very poor results here).

But there is one last card to play, which is the zeroth moment method tail estimate (4). As mentioned earlier, this bound is lousy in general – but is very good when X is mostly zero, which is precisely the situation with X_{>N_j}. and in particular we see that (\overline{X_{>N_j}})_{n_j} is zero with probability 1 - O( n_j {\Bbb P}(X > N_j) ).

Putting this all together, we see that

\displaystyle {\Bbb P}( \overline{X}_{n_j} \neq {\Bbb E}(X) + O( \varepsilon ) ) \leq O( \frac{1}{\varepsilon n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 ) + O( n_j {\Bbb P}(X > N_j) ).

Summing this in j, we see that we will be done as soon as we figure out how to choose N_j so that

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j} {\Bbb E} |X_{\leq N_j}|^2 (11)

and

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty n_j {\Bbb P}(X > N_j) (12)

are both finite. (As usual, we have a tradeoff: making the N_j larger makes (12) easier to establish at the expense of (11), and vice versa when making N_j smaller.)

Based on the discussion earlier, it is natural to try setting N_j := n_j. Happily, this choice works cleanly; the lacunary nature of n_j ensures (basically from the geometric series formula) that we have the pointwise estimates

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n_j} |X_{\leq n_j}|^2 = O( X )

and

\displaystyle \sum_{j=1}^\infty n_j I( X \geq n_j ) = O( X )

(where the implied constant here depends on the sequence n_1, n_2, \ldots, and in particular on the lacunarity constant c). The claims (10), (11) then follow from one last application of linearity of expectation, giving the strong law of large numbers.

Remark 1. The above proof in fact shows that the strong law of large numbers holds even if one only assumes pairwise independence of the X_n, rather than joint independence. \diamond

Remark 2. It is essential that the random variables X_1,X_2,\ldots are “recycled” from one empirical average \overline{X}_n to the next, in order to get the crucial quasimonotonicity property (9). If instead we took completely independent averages \overline{X}_n = \frac{1}{n} (X_{n,1} + \ldots + X_{n,n} ), where the X_{i,j} are all iid, then the strong law of large numbers in fact breaks down with just a first moment assumption. (For a counterexample, consider a random variable X which equals 2^m / m^2 with probability 2^{-m} for m=1,2,3,\ldots; this random variable (barely) has finite first moment, but for n \sim 2^m/m^2, we see that \overline{X}_n deviates by at least absolute constant from its mean with probability \gg 1/m^2. As the empirical means \overline{X}_n for n \sim 2^m/m^2 are now jointly independent, the probability that one of them deviates significantly is now extremely close to 1 (super-exponentially close in m, in fact), leading to the total failure of the strong law in this setting.) Of course, if one restricts attention to a lacunary sequence of n then the above proof goes through in the independent case (since the Borel-Cantelli lemma is insensitive to this independence). By exploiting the joint independence further (e.g. by using Chernoff’s inequality) one can also get the strong law for independent empirical means for the full sequence n under second moment bounds. \diamond

Remark 3. From the perspective of interpolation theory, one can view the above argument as an interpolation argument, establishing an L^1 estimate (10) by interpolating between an L^2 estimate (Lemma 2) and the L^0 estimate (4). \diamond

Remark 4. By viewing the sequence X_1,X_2,\ldots as a stationary process, and thus as a special case of a measure-preserving system one can view the weak and strong law of large numbers as special cases of the mean and pointwise ergodic theorems respectively (see Exercise 9 from 254A Lecture 8 and Theorem 2 from 254A Lecture 9).  \diamond

Sursa terrytao.wordpress.com

(Fluierul)


Linkul direct catre Petitie

CEREM NATIONALIZAREA TUTUROR RESURSELOR NATURALE ALE ROMANIEI ! - Initiativa Legislativa care are nevoie de 500.000 de semnaturi - Semneaza si tu !

Comentarii:


Adauga Comentariu



Citiți și cele mai căutate articole de pe Fluierul:

Dosarul Cherecheş se prăbuşeşte: Interceptările DNA au fost editate şi nu sunt originale. Cerem Parlamentului, Ministrului Justiției şi Preşedintelui să ia măsuri de urgență. Aceste lucruri sunt mai grave decât crimele unor demenți izolați.

SEX TAPE made in Romania: 4 vedete autohtone FILMATE făcând perversităţi VIDEO

Directorul, SEX cu profa de matematică în şcoală. Elevii au filmat pe ascuns. VIDEO XXX

Germania le spală creierele copiilor germani de mai bine de 10 ani ca să devină MUSULMANI. Dintr-un serial pentru copii: "Este de acum mult mai important în viața noastră ca să ne rugăm lui Allah și să-i fim profund recunoscători"

MOSTENIREA nestiuta a lui Ceausescu! America e SOCATA de ce a descoperit in Romania
ULTIMA ORA: Dusmanii tarii vor sa ascunda adevarul

ORGIE în toaleta unui club din România. Totul a fost filmat cu un telefon mobil. VIDEO

Prezentatoare TV în sânii goi, după ce a fost trădată de rochie în direct VIDEO

Cum își bate joc, din nou, Isărescu de români. În timp ce în toată lumea civilizată dobânzile băncilor centrale sunt între 0% şi 1,5%, ba chiar negative, Isărescu a mărit dobânda BNR de la 1,75 la 2% ca să crească dobânzile pentru români.

Cum au fost batjocoriți România şi Eminescu chiar de ziua lui Eminescu şi chiar la Botoşani. O progresistă Premiată la Gala "Premiul Național de Poezie", a recitat versuri pornografice pe scenă: „Îţi introduc penisul meu lung şi negru în pântec, România“

Disperare în rândurile Rețelei SOROS după numirea lui Dăncilă. SOROŞISTUL Cristian Pârvulescu, despre desemnarea premierului Dăncilă: "S-ar putea ca această decizie a preşedintelui să fie o eroare"

Cum fac SEX rusoaicele, nemţoaicele sau italiencele. Clipul care a făcut senzaţie pe net VIDEO

TOP 10 cele mai bune ACTRIŢE PORNO din istorie. Sau cum sunt manipulați tinerii de mici FOTO

O fostă majoretă a făcut SEX cu un elev de 15 ani! Filmul XXX a ajuns pe INTERNET. VIDEO

Un apropiat al Serviciilor Secrete, Vasile Dîncu, din Grupul de la Cluj, iese la atac împotriva lui Dăncilă: "PSD face o mare greșeală că pune în Guvern numai oameni din aceeași zonă geografică"

Şi Brigitte Bardot dă de pământ cu mișcarea soroşistă #metoo. Brigitte Bardot: "Sunt actrițe în căutare de publicitate care după ce au flirtat cu producătorii să obțină un rol îi acuză acum de hărțuire sexuală"

Directorul, SEX cu profa de matematică în şcoală. Elevii au filmat pe ascuns. VIDEO XXX

MANIPULAREA PRIN SEX. OANA ŞI VIOREL LIS, sex tape-ul care face înconjurul internetului. IMAGINI XXX

Au făcut sex în restaurantul plin de oameni. Ce a făcut ospătăriţa când i-a văzut VIDEO XXX

Noi informații despre moartea lui Victor Spirescu, românul care a "invadat" Marea Britanie

ANDRA, APROAPE GOALĂ! Uite-o CU SÂNII LA VEDERE, înainte să îl cunoască pe Măruță | VIDEO INCENDIAR

HOROSCOP 19 ianuarie 2018. Surpriză pentru o zodie înainte de weekend, invitaţie de nerefuzat

O lege, deja promulgată de Iohannis, poate scumpi alimentele cu 30%. Minciuna "Incălzirii Globale" și Tariful Taxei pe Mediu, mediu care "poluându-se de la ambalaje încălzește planeta" poate scumpi alimentele cu 30%.

Diferențe majore de abordarea între Udrea care critică Statul Paralel şi Băsescu care a ajuns Vuvuzeaua Rețelei Progresiste și a Statului Paralel. Udrea: "De data aceasta avem un premier care nu i-a fost indicat lui Dragnea de către Securitate"

Klaus Iohannis a întrerupt emisia la Europa FM. Cum a fost posibil AUDIO

Secretarul de Stat al SUA va vizita săptămâna viitoare mai multe țări din Europa

VIDEO Patania unei romance care a dat in judecata magazinul unde a suferit un accident din cauza unei pungi

Italia.Lupta împotriva corupției folosită şi în Italia pentru a-i împiedeca pe Conservatori să ocupe funcții publice.Berlusconi îl vede pe liderul conservator Matteo Salvini potrivit pentru Ministerul de Interne. Progresiștii dau legi ca să-l împiedece.

"Am avut și eu de luptat cu Ioniță, mi se puneau multe bețe-n roate". Șumudică trage un semnal de alarmă în cazul jucătorului exilat: "Astra i-a întins mâna, dar au venit bani, calificări în Europa"

Hackerii au lovit direct în "inima" Norvegiei! Nora Mork s-a trezit cu poze nud pe internet, după ce i-a fost spart telefonul. "M-am speriat, am vrut doar să fug". Temerile celei mai bune handbaliste din naționala Norvegiei

Imagini fără perdea la EXALTON: Camerele de luat vederi au surprins totul

CRITICĂ țările care refuză refugiații, dar recunoaște că sunt MARI probleme. Mărturisirea cancelarului Austriei nu face cinste României

După demiterea lui Tudose, Fostul premier Julien Cioloş de la ONG-ul Friends Of Europe finanțat de SOROS, se autopropune deşi nu a fost votat de nimeni, niciodată. Cioloş: "Dacă vor fi alegeri anticipate, ne asumăm să fim parte a acestei soluții"

Intervenții masive pe drumurile din județul Iași. Cartierele rămân sub nămeți: "Zăpada este la nivelul farurilor"

Cele mai bune filme erotice pe care le-ai ratat - Video

Mircea Badea şi Oana Zamfir unii dintre puținii ziariști din România care nu sunt traşi cu Cheița, comentează Demisia lui Tudose supranumit de Badea "elevul lui Coldea" de la SRI

Polonia: Președintele Andrzej Duda laudă gestul lui Donald Trump de a da 'premii' pentru 'fake news'

IESITI DE PE SNAPCHAT. Snapchat, rețeaua care își autodistruge mesajele, începe să transmită publicitate

Curtea Constitutionala: Decizia de refuz a accesului la informatiile clasificate trebuie sa apartina intotdeauna unui judecator

Update: Catastrofă umanitară în Suceava și Botoșani. Peste 50% dintre adulți nu au salar. ROMÂNIA SITUAȚIE CATASTROFALĂ. Câți sunt oficial plecați la muncă în străinătate, câți sunt fără salar, câți mai au încă un salar. Care e situația în fiecare județ.

Maria Ghiorghiu, premoniţie îngrijorătoare despre România: "Va curge sânge"

BOMBĂ. Andreea Esca, apariţie în revista Playboy? FOTO

Fotografiile nud ale Norei Mork au provocat un nou scandal în Norvegia! Handbalista de la Gyor i-a acuzat pe jucătorii din naționala masculină de hărțuire sexuală

Simona Halep: Am rezistat cu Bouchard, dar mă gândesc dacă voi mai risca şi de acum înainte

Traian Băsescu: "Mafiile transpartinice PNL-PSD funcţionează perfect. Şi tu, Ralucuţa?"

Macron și May au semnat un tratat privind controlul imigrației la frontiera comună

VIDEO Mesaj minunat al Anei Bogdan, din Australia: "Acesta este unul dintre momentele în care ești mândru că ești român!" Ce a determinat-o să spună asta

Analiza Gramaticala - Clasele V - VIII

LIVE BLOG Australian Open | Norocul le-a zâmbit la minge de meci. Begu și Niculescu s-au calificat în optimile probei de dublu! Organizatorii nu o menajează pe Halep: liderul WTA va juca pe caniculă

Studiu la nivelul Uniunii Europene. Câți dintre români folosesc lumânări în momente cu potențial romantic

Educatorii și învățătorii nu mai trebuie să absolve studii de licență în profilul postului

Tren cu 50 de pasageri, blocat în nămeţi

Cine este personajul "veninos" trimis de la Cotroceni de care vorbea Liviu Dragnea. Dragnea afirmase în Noiembrie că Veninosu' este "vestitorul de serviciu" de la Cotroceni care se ocupă cu racolarea de PSD-işti

Bogdan-Cosmin Ștefan, eliberat din funcția de șef al Corpului de control al prim-ministrului

Trei școli și cinci grădinițe din județul Vâlcea, închise din cauza iernii

Educatorii și învățătorii nu mai trebuie să absolve studii de licență în profilul postului

Trei linguriţe luate seara fac minuni. Acest ingredient grăbește metabolismul şi "topeşte" până la 13 kilograme

Șeful Corpului de control al prim-ministrului, schimbat din funcție

Ultimii trei ani au fost cei mai fierbinți din istorie. Oamenii de ştiinţă contestă însă scenariile lansate de ONU

Inginerii chinezi propun eliminarea deseurilor spatiale cu ajutorul laserelor

IMAGINEA ZILEI | Pique nu a fost uitat pentru poza cu Neymar! Cine l-a luat peste picior

O nonagenară din Africa de Sud cere retrocedarea cetății medivale Bologa din județul Cluj

Cutremur cu magnitudine 5.6. S-a simţit puternic

Aubameyang, tot mai aproape de Arsenal! Salariu impresionant pentru atacant, în timp ce nemții vor încasa 60 de milioane

Hartuirea sexuala, o realitate si la nivelul ONUEste cumplit, pentru ca aceasta este o organizatie care ar trebui sa protejeze drepturile tuturor...Suntem atat de ipocriti

CCR: Probele obtinute in mod nelegal si declarate nule in procesul penal trebuie inlaturate din dosare

Cincizeci de călători, blocați în trenul Constanța – Tulcea, din cauza viscolului

De ce a fost bătuta Dana Grecu: "Nu m-am putut stăpâni"

Presa maghiara: Noul cancelar austriac ar alege Berlinul in locul tarilor Grupului de la Visegrad

HOROSCOP 19 IANUARIE 2018: Sextilul Luna-Uranus favorizează anumite zodii

Smiley și Feli au lansat o piesă în duet: "Este una dintre preferatele mele" VIDEO

Câte like-uri a pierdut Iohannis în 24 de ore de la acceptarea Vioricăi Dăncilă ca prim-ministru

Cum să scapi rapid de grăsimea de pe burtă

Percheziţii la sediile de campanie ale opozantului rus Alexei Navalnîi

EXCLUSIV | Fază de cascadorii râsului povestită de Dorinel Munteanu: "Era zăpadă când a venit la Dinamo. Și el era în sandale". Ce puseseră la cale fotbaliștii din Ștefan cel Mare

Papa Francisc: Lipsa tolerantei fata de imigranti nu este o atitudine crestina. Nu exista nicio bucurie crestina cand altii sunt facuti sa se simta nedoriti

Austria critică ţările est-europene care nu acceptă migranţi, dar recunoaşte că nici aceştia nu vor în România

Olanda respinge ideea ca UE să compenseze contribuţia britanică, după Brexit, prin sporirea contribuţiilor statelor membre

Statele Unite vor să dezvolte mini-arme nucleare

Elena Udrea are ALIBI. În ziua în care ar fi luat 900.000 de euro mită, era la înmormântarea mamei lui Băsescu

ULTIMA ORĂ | Stanciu a semnat cu Sparta Praga! Ce salariu va avea și numărul cu greutate pe care l-a ales | FOTO

Când falsificatorii de ştiri progresisto-soroşişti strigă tot ei "prindeți falsificatori de ştiri". Trump a anunțat premiile "Topul ştirilor false din 2017" apărute în presa progresistă. New York Timiș, ABCNEWS şi CNN pe primele 3 locuri

Sumele exorbitante plătite de liderii cetăților, acum câteva secole, pentru a nu fi rași de pe fața pământului

Simona Halep are un fan de lux la Australian Open! Boris Becker, declarație minunată: "Aș fi foarte bucuros dacă Simona ar câștiga turneul! Nimeni nu mai aleargă atâția kilometri pe teren"

INTERVIU de la Melbourne -Mihaela Buzărnescu, revelația tenisului românesc, povestește cum a fost "faultată" în drum spre Australian Open

Întrebarea care făcut-o pe Simona Halep să izbucnească în râs după meciul cu Eugenie Bouchard

Cele mai amuzante bancuri cu animale. De ce se ascund pisicile când fac sex

LIVE BLOG Australian Open | Norocul le-a zâmbit la minge de meci. Begu și Niculescu s-au calificat în optimile probei de dublu! Înfrâgere usturătoare pentru Olaru

Ce au însemnat "Planul Madagascar" și "Operațiunea Reinhard". Cele mai bolnave idei ale naziștilor pentru a scăpa de evrei

Bancul zilei: Cine moare de grija altuia...

Oficial rus: Naționaliștii ucrainieni sunt înarmați cu sisteme antitanc americane

Fotografiile nud cu Nora Mork au provocat un nou scandal în Norvegia. Handbalista i-a acuzat de hărțuire sexuală pe jucătorii din naționala masculină

Vasile Dâncu, fost vicepremier : La noi este cea mai mică încredere în partidele politice, au sub 10%

Faze tari:Un barbat din Campulung isi vinde casa pe 100.000 de Biblii;Cele mai mari mistere aviatice ale istoriei care inca nu si-au gasit raspunsul;Ce se intampla cand incerci sa te abtii din a stranuta

Caru' cu vedete: Cum s-a imbracat premierul Viorica Dancila la nunta fiului ei; Ultima aparitie a faimoasei Lady Gaga i-a lasat pe toti cu gura cascata!; Keira Knightley dezvaluie ca a fost agresata sexual de patru ori

Prajitura Albă ca zapada. Reţeta pentru cea mai fină prajitură

Utilizări uimitoare ale zaţului de cafea. Le ştiai şi tu?

Şeful Corpului de Control al premierului Tudose, dat afară

200 de declaraţii de dragoste. Texte care te inspiră să îţi declari iubirea

Zece persoane suspectate ca furau carbune din vagoanele care faceau transport intre Mina Livezeni si Termocentrala de la Mintia au fost retinute

Statuia unui înger roşu, dărâmată de protestatari greci pentru că îl simboliza mai degrabă pe Lucifer

AVION PRĂBUŞIT ÎN FRANŢA. O înregistrare video cu ultimele clipe de la bordul avionului căzut în Alpi VIDEO

Klaus Iohannis atacă la CCR legea care permite parlamentarilor, miniştrilor, primarilor să fie comercianţi

Oţetul din bucătărie poate vindeca de bolile de ficat. Află reţeta veche care funcţionează

RETEAUA LUI SOROS DIN ROMANIA S-A ACTIVAT DIN NOU. Peste 50 de ONG-uri din Romania cer impotriva Constitutiei Romaniei Articolul 3 (4) ca sa fie Relocate in Romania MULT MAI MULTE MII DE IMIGRANTI decat cei decisi pentru Romania pana acum.

Ministerul Educației organizează o consultare online pe tema structurii anului școlar 2018-2019

Top 5 zodii experte în pat. Te vor da gata!

Sute de kilograme de cocaină ascunse în ananaşi

Bogdan-Cosmin Ștefan, numit de fostul premier Mihai Tudose, înlocuit de la șefia Corpului de control al premierului

Daniela Crudu şi Mihai Mitoşeru, spectacol porno în MALL. Vedetele au fost filmate pe ascuns VIDEO

Brașov: O persoană a decedat în urma unui incendiu la o casă din localitatea Tărlungeni

Siegfried Mureșan: Modificarea legilor justiției va fi discutată în Parlamentul European. Legalizarea hoției este un risc pentru securitatea cetățenilor europeni

VIDEO Cea mai mare pestera subacvatica a fost descoperita in Mexic si are o lungime de 347 de kilometri

DNA neagă o informaţie "scursă în presă" în care Kovesi ar fi obţinut, cu mandat de la ÎCCJ, percheziţia informatică a opt procurori

NATO îndeamnă Macedonia să-și reglementeze conflictul cu Grecia

Un festival dedicat pisicilor, în desfășurare la Istanbul

Accident feroviar în Mexic: Cel puțin cinci morți după ce un tren a deraiat și a intrat într-o casă | VIDEO

Cum a dat peste cap Klaus Iohannis sistemul de siguranta al postului de radio Europa FM :)

7 prieteni falşi pe care mai bine nu-i ai. Află cum să te fereşti de "hater" sau "lipitoare"

Adevărul Live de la ora 15.00: Olga Gudynn, fondatoarea unui lanț de școli private, vorbește despre greșelile frecvente în educarea copiilor

Nicușor Dan a dat în judecată USR prin interpuși. Surse: Organzația Caraș-Severin cere anularea Congresului în care a fost ales Dan Barna președinte


Pag.1 Pag.2 Pag.3 Pag.4 Pag.5 Pag.6 Pag.7
Pag.8 Pag.9 Pag.10 Pag.11 Pag.12 Pag.13

Nr. de articole la aceasta sectiune: 1496, afisate in 13 pagini.



ieri 20:31 ȘTIRILE MEDIAFAX
ieri 03:35 CITATUL ZILEI